calculo diferencial y una variable

Cáculo en una variable real:
Derivada y diferencial
Joel Cruz Ramírez
2013-2014

ii

Índice general
Introducción

V

1. La derivada

1

1.1. Razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Razón de cambio discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2. Razón de cambio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

1

1.1.3. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1. Cálculo de derivadas de las funciones elementales . . . . . . . . . .

3

1.2.2. Derivada unilatral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Teorema básicoy reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2. Del producto y del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.3. Regla de la cadena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. Intervalos de monotonía de las funciones . . . . . . . .. . . . . . . . . . .

10

1.4.1. Valores extremos locales de una función . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.2. Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. La derivada de orden dos y más . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.5.1. Teorema de Lagrange (del valor intermedio) . . . . . . . . . . . . .

23

1.5.2.Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.5.3. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.5.4. Reglas de L’
Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.5.5. Fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.6. Asíntota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.7. Aproximación lineal y pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . .

43

1.7.1. Aproximación de raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1.7.2. Aproximación cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

iii

iv

ÍNDICE GENERAL
1.8. Antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .

47

1.9. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

1.10. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

1.11. Análisis de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Introducción

v

vi

INTRODUCCIÓN

Capítulo 1
La derivada1.1.
1.1.1.

Razón de cambio
Razón de cambio discreta

Para dos cantidades Q1 , Q2 de Q tomadas en x1 y x2 , el cociente
Q2
x2

Q1
x1

se llama la razón de cambio discreta de Q con respecto a x.
Para dos cantidades Q1 , Q2 de Q tomadas en x1 , x2 , y dos cantidades P1 , P2 de P
tomadas en x1 , x2 el cociente

Q2 Q1
P2 P1
se llama la razón de cambio discreta de Q con respecto a P.

1.1.2.

Razón de cambio continuo

Si Q = Q (x) el límite del cociente cuando x2 tiende a x1 ,
Q (x2 )
x2 !x1
x2
l{m

Q (x1 )
,
x1

se llama la razón de cambio instantánea Q en x1 .
Si Q = Q (x) y P = P (x) el límite del cociente cuando x2 tiende a x1 ,
Q (x2 )
x2 !x1 P (x2 )
l{m

Q (x1 )
,
P (x1 )

se llama la razón de cambio instantánea Q con respecto a P en x1 .

12

CAPÍTULO 1. LA DERIVADA

Ejercicios
1.- A) Calcular la razón de cambio instantánea del volumen de la esfera de radio r con
respecto al radio en r = 1.
B) Calcular la razón de cambio instantánea de la super…cie de la esfera de radio r con
respecto al radio en r = 1.
C) Calcular la razón de cambio instantánea de la super…cie de la esfera de radio r con
respecto al volumen de la...