Calculo diferencial

2x+ydx-x+6ydy=0
Dada la ecuación anterior, primeramente se debe de comprobar si la ecuación es exacta para ello primero debemos, de distinguir cuales serán losvalores de M y N. M serán los valores del coeficiente de dx y N los valores que sean coeficientes de dy.
M=2X+Y N= X+6Y
Una vez obtenido los valores de M y N se debede obtener la derivada parcial de cada uno ∂2x+y∂y=1
2∂x∂y=0 + ∂y∂y=1
∂x+6y∂x=1
Recuerden que en este tipo de derivadas solo se toma en cuenta las variables conrespecto a la que se esté derivando, las otras variables se toma como constante.
Siempre que la derivada de M con respecto a Y. sea igual a la derivada de N con respectoa X se dice que una ecuación es exacta.
Para resolver este tipo de ecuaciones primero se debe de realizar el siguiente paso que es:
fx,y=2x+y +gy= x2+xy+gy
Unavez que se integro es necesario obtener el valor de g(y) para ello se utiliza la siguiente fórmula:

g,y=x+6y-∂x2+xy∂y=x+6y-∂x2∂y-x∂y∂y=x+6y-0-x=6y

Para obtener ag(y) es necesario integrar ambos miembros con respecto a y. quedando la operación de la siguiente manera:
g,ydy=6ydy
gy=y22
Una vez obtenido la variable se sustituye enla función f(x,y)
fx,y=x2+xy+y22 Quedando la ecuación final x2+xy+y22=c
Estas son las formulas para la transformada de Laplace
L1=1sLtn=n!sn+1 n=1, 2,3….
Leat=1s-a
Lsenkt=ks2+k2
Lcoskt=ss2+k2
Lsenhkt=ks2-k2
Lcosh kt=ss2-k2
Solo se trata de aplicar las formulas deacuerdo a los ejercicios que les envió por ejemplo:
a) ft=1+e4t
L1+Le4t=1s+1s-4
Si se dan cuenta se aplico la primera y tercera fórmula para resolver la transformada.