Calculo diferencial

5.1 RECTA TANGENTE.
Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, .
Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en lacurva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .
La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por
Si representa una función f (no es el caso en el gráficoprecedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadasortonormales, es dada por . Siendo su ecuación:

suponiendo claro está que . Si entonces la recta normal es simplemente . Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de una parábola.

Tangente a una curva.

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta tangentea la parábola y = x2 − 5x + 6 paralela a la recta 3x + y − 2 = 0.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
m = −3
f'(a) = 2a − 5
2a − 5 = −3a = 1
P(1, 2)
y − 2= −3 (x − 1)y = −3x + 5










RECTA NORMAL.
Toda recta normal a una curva es perpendicular a la recta tangente y la recta tangente tiene pendiente: ... m(t) = f `(x) cuando:
x = la abscisa delpunto de tangencia
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta normal
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto(a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplo:
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.5.2 TEOREMA DE ROLLE.

El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
* es una función continua definida en un intervalo cerrado
* es derivable sobre el intervalo abierto
*

Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale y llega a la misma altura, en algún punto tendrátangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplo muestra que no se garantiza la unicidad de c.Ejemplo:
Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por ser una función polinómica.
Además se cumple que:
f(−1) = f(0) = f(1) = 0
Por tanto es...