Calculo diferencial

Cálculo diferencial
El Cálculo Diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.

Aplicaciones importantes delcálculo diferencial

Recta tangente a una función en un punto

La recta tangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la rectatangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de tangencia que consideremos.
Si conocemos la ecuación de la recta tangente ta(x) a la función f(x) en el punto "a" podemos tomar ta(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del punto "a". Esto quiere decir que si tomamos un punto "a + h" y lo evaluamos tantoen la función como en la recta tangente, la diferencia f(a + h) − t(a + h) será despreciable frente a "h" en valor absoluto si "h" tiende a cero. Cuanto más cerca estemos del punto "a" tanto más precisa será nuestra aproximación de f(x).
Para una función f(x) derivable localmente en el punto "a", la recta tangente a f(x) por el punto "a" es:
ta(x)= f(a) + f '(a)(x-a)

Aproximación local deTaylor

Hemos visto que podemos aproximar mediante su recta tangente a una función derivable localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientemente suave en el punto o dominio de estudio (esto es, la función es de clase [pic]) cabe la posibilidad de intentar aproximar a la función no por polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente. Estaaproximación recibe el nombre de "desarrollo polinómico de Taylor" y se define de la siguiente manera:

[pic]
Donde P(x) es el polinomio de grado n que mejor aproxima a la función en el punto x=a. Nótese que si evaluamos P(x) en x=a todos los términos salvo el f(a) se anulan, luego P(a) = f(a). Nótese también que la ecuación de la recta tangente del apartado anterior corresponde al caso enel que n=1.
El polinomio de Taylor es un polinomio "osculador". De entre todos los polinomios de orden no mayor que "n" y que pasan por f(a) el desarrollo polinómico de Taylor de f(x) en x=a es el que posee el contacto de mayor orden con f(x)en "a". Se basa en la idea de que si dos funciones comparten en x=a el mismo valor, la misma primera derivada, la misma segunda derivada etc, la mismai-ésima derivada, (lo que brevemente se expresa diciendo que las dos funciones tienen un contacto de orden "i") entonces dichas funciones serán muy parecidas cerca de x=a, queriendo decir por parecidas que podemos aproximar a una de las dos por la otra cometiendo un error despreciable.
Cuando a=0 el desarrollo se denomina "desarrollo de MacLaurin". En la práctica la mayoría de las veces se empleandesarrollos de MacLaurin. Ejemplos de desarrollos importantes de MacLaurin son:

[pic]
[pic]
[pic]

Nótese el símbolo [pic]que denota aproximación que no igualdad. Si la función a aproximar es infinitamente derivable y agregamos infinitos términos al desarrollo entonces el [pic]se convierte en un = .
Este último paso de agregar infinitos términos no se puede tomar a la ligera.Hemos dicho que la aproximación de grado uno, dos, tres etc es una aproximación local en el punto en que se evalúa la función, esto es, si nos alejamos mucho del punto la aproximación dejará de ser precisa. Cuantos más términos agreguemos al desarrollo en serie de Taylor tanto más precisa será nuestra aproximación si estamos en un entorno del punto. Podríamos pensar pues que al añadir...