calculo diferencial

PRODUCTO CARTESIANO EN

En la teoría económica la información de una sola variable no es suficiente para determinar su comportamiento, por tanto es necesario estudiar en dos o más variables: cantidad de producción y costo asociado, cantidad comprada y precio; mano de obra y capital; Impuesto y Valor de la Mercancía; Horas trabajadas y salario; etc. Es necesario estudiar los elementos de lasmatemáticas para representar el comportamiento de los agentes económicos

Pareja Ordenada

Conjunto de números de la forma (a, b) con a, b R; donde a se denomina primera componente y b segunda componente. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.

Producto Cartesiano.

Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados deprimera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:

En consecuencia:



La representación geométrica de R R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.










Se establece una relación biunívoca entre R R y el conjunto de los puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el parordenado (a, b) con el punto P(a,b).

Ejemplo 1:
Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será:
A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.
Gráficamente










INTERVALOS
Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.
Finitos
Abierto

Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y b,simbólicamente (a , b) = {x / a < x < b}
Gráficamente




Cerrado
Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b, simbólicamente [a , b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Gráficamente




Semi-abierto o semi-cerrado


(a , b] = {x / a < x ≤ b}


[a , b) = {x / a ≤ x < b}


Intervalos Infinitos:
(a,∞) = {x / x > a}


[a,∞) = {x / x ≥ a}

(-∞, a) = {x /x < a}


(-∞, a] = {x / x ≤ a}



Ejercicios 1
1. Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades:

(x + y, 1/2) = (1, x - y)

(x + 2, y) = (3y, 2x)

2. Sean y
a. Calcular
b. Representar gráficamente

3. *Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los númerosenteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de A x B y B x A.

4. *Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica
(1,3)
(0,3]
[-1,∞)
(-∞,2)

[-0.5, 4.5)
(]
[)

()

5. Sean A= (-3,7], B= [-1,10] y C= [-2,∞) calcular y representar gráficamente
a. A ∩ B
b. B - A
c. Cc
d. A ∩ Bc
e. (A - B)c - C
6. *Para cada afirmaciónescriba dos intervalos que verifiquen:
a. Su unión es (-8,2]
b. Su intersección es [1,-3)
c. Su diferencia es (-∞, 3)
d. Su intersección sea vacía y su unión sean todos los reales

Desigualdades

Proposiciones tales como , se llaman desigualdades. En particular, y son desigualdades estrictas. La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de lavariable para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera.

Propiedades.

Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera.
El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo.Desigualdades lineales

Ejemplo 1.



Solución: (- 8, + ∞)




Ejemplo 2.



Solución: (-∞, 4]



Ejemplo 3.


Solución:



Desigualdades Cuadráticas

Ejemplo 4.



Luego, x = 3 y x = 1
Estos valores dividen a la recta real en tres intervalos: (-∞,1); ; (3,∞)
Tomando puntos de prueba y remplazando en la desigualdad, obtenemos...