Calculo Diferencial

Las Relaciones de Orden en los Números Reales

Definición:
Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >,<, ", " e = para establecer las relaciones de orden entre dos números dados. En estos conjuntos, los números situados a la derecha son mayores que los situados a la izquierda.
Relaciones ", " en R.
Consideremos losnúmeros reales "3 y "2. Para compararlos hacemos aproximaciones racionales de las raíces.
"3 " 1,732 y "2 " 1,414
1,732 > 1,414
"3 > "2
Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a < b si b está mas a la derecha que a en la recta real.
Si a < b, entonces b − a > 0
Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q.
Para expresar los intervalos abiertos es suficienteel signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué)
Intervalo abierto (a,b) Intervalo cerrado [a,b]
Intervalo abierto a la derecha [a,b)
Intervalo abierto a la izquierda (a,b]
El intervalo abierto (a,b) está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, excluidos a y b.
Se expresa por a < x < b.
El intervalocerrado [a,b] está formado por los números reales X comprendidos entre a y b, incluidos a y b.
Se expresa por a " x " b.
Análogamente, el intervalo [a,b) se expresa a " x < b. y el intervalo (a,b] se expresa por a < x " b.
De la recta numérica se puede deducir que:
· Cualquier numero positivo es mayor que cualquier numero negativo
· Cualquier numero negativo es mayor que menor quecualquier numero positivo.
Orden en los números Reales
Dados dos números reales a y b siempre se cumple uno de los siguientes casos:
· a > b
· a < b
· a = b
Para ordenar un conjunto de números reales, se comparan dichos números y se establecen las relaciones de orden (>, < o =) que existen entre ellos.
· Ejemplos:
Para ordenar "5 y 2"3. Se calcula su diferencia: "5 − 2"3 =2,24 − 2 .1, 73 = 2,24 − 3,46 = −1,22 < 0. Como el resultado es negativo, significa que 2"3 > "5.
Un conjunto de números reales se puede ordenar en forma decreciente (mayor a menor), utilizando la relación >. Si aparecen números irracionales se deben aproximar.
Por ejemplo, para ordenar en forma decreciente los números 0,065; − 1,3; −5/3; 4,5; 0,06; 0,1; 8,32; "5/2, utilizando la relación > conaproximación a las centesimas.
Se escriben los números racionales y los irracionales en forma decimal, con aproximación a las centesimas, es decir, con dos cifras decimales:
−5/3= −1,67 "5/2= 1,12
Luego se ordenan los números de mayor a menor:
8,32 > 4,5 > 1,12 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > −1,3 > −1,67
Entonces los números con los valores originales quedarían ordenados así:8,32 > 4,5 > "5/2 > 0,1 > 0,065 > 0,06 > −1,3 > −5/3
Para ordenar en forma creciente (de menor a mayor) un conjunto de números reales, se utiliza el signo <. Si hay números que no están expresados en forma decimal, se escriben en forma decimal y luego se comparan y ordenan.
Por ejemplo, para ordenar en forma creciente los números 1/3; −1,3; −"3; 3,1; 2"2; 0,015, primero seescriben los números en forma decimal aproximados, por ejemplo, a las décimas: 1/3 = 0,3 −"3 = −1,7 2"2= 2,8
Luego se ordenan de menor a mayor:
11,7 < −1,3 < 0,015 < 0,3 < 2,8 < 3,1
Y se reemplazan los valores. Resulta: −"3 < −1,3 < 0,015 < 1/3 < 2"2 < 3,1

Propiedades de las Relaciones de Orden en los Reales

Verifiquemos que la relación mayor o igual que esuna relacion de orden total, para ello, comprobaremos que se cumplen las propiedades reflexiva, antisimetrica, transitiva y dicotómica.
Propiedad Reflexiva:
Si a es un numero real, se cumple que a " a; entonces se dice que la relación " cumple la propiedad reflexiva.
Ejemplo: "5 " "5 ya que "5 = "5
Propiedad Transitiva:
Si a, b y c pertenecen a los números reales, si a " b y b " c, luego...