Calculo diferencial

CALCULO DIFERENCIAL
Es una rama de las matemáticas, que define el cambio de las funciones y sus variables, el principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada, ligadas con las ecuaciones diferenciales.

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
Son los mecanismos básicos de las matemáticas planteados en los análisis para describir el sistema de los números reales.

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[pic]Los que pueden representarse en la recta de los números reales son números racionales y los que no pueden son irracionales

PROPIEDADES IMPORTANTES

1.- Uniforme 
Si se suman números reales, el resultado es un número real único. 
Si se multiplican números reales, el resultado es un real único.
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4.- Modulativa 
Existe el real 0 (cero) tal que para todo a ( R, 
a + 0 = 0 + a = a  
Existe el real 1 (uno), 1 / para todo a ( R, 
a . 1 = 1 . a = a  
El real 0 es el módulo o elemento neutro para la adición. 
El real 1 es el módulo o elemento neutro para la multiplicación.

5.- Invertiva 
Para cada número real a, existe un real único opuesto de a, y que se denota –a / a + (-a) = 0  Para cada número real a diferente de 0, existe un real único llamado el recíproco de a, y que se denota por a-1 ó 1/a tal que: 
a . a-1 = a. (1/a) = 1  
Así por ejemplo, el opuesto de 5 es -5; el recíproco de -2 es 1/-2. 
Debe notarse que -a no significa un número negativo, aunque en algunas ocasiones puede serlo, así -3 es negativo y es el opuesto de 3, también-(-5) es positivo y es el opuesto de –5. 
El opuesto de a también se conoce como inverso aditivo, el recíproco de a también es llamado inverso multiplicativo de a.

6.- Distributiva 
Para todo a, b, c, ( R , a. (b+c) = a.b + a.c

CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LOS AXIOMAS DE CAMPO 

Las consecuencias más importantes de los axiomas de campo comprenden las propiedadesutilizadas en el desarrollo del cálculo y se hacen presente para las demostraciones.

En algunas demostraciones teoremas del cálculo, se hace referencias a ellas.

C1. Ley cancelativa para adición (multiplicación) x + y = x + z si y solo si y = z 
Si x = 0, entonces, xy = xz si y solo si y = z.

C2. Para todo a, b ( R, la ecuación: x + a =b, tiene una y solo una solución R. 
 
C3. Paratodo x ( R  , x . 0 = 0 
 
C4. x . y = 0 entonces x = 0 v y = 0. 
 
C5. Para todo x (R , si x [pic] 0, entonces x-1 = 1/x [pic] 0. 
 
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C7. Para todo x ( R , -(-x) = x. 
 
C8. Si x [pic] 0, entonces, (x-1)-1 = x. 
 
C9. Para todo x, y (R, -(x+y) = (-x) + (-y). 
 
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C14. Para todo x (R , -x = (-1)x. 
 
C15. (-1) . (-1) = 1. 
 
C16. (-x) . (-y) = x.y. 
 
C17. -(xy) =(-x)y = x(-y). 

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C19. x(y-z) = x.y – x.z. 
 
C20. (x-y) + (y-z) = x - z. 
 
C21. (a-b) - (c-d) = (a+d) – (b+c). 
 
C22. (a+b) . (c+d) = (a.c + b.d) + (a.d + b.c). 
 
C23. (a-b) . (c-d) = (a.c + b.d) - (a.d + b.c). 
 
C24. a - b = c – d entonces + d = b + c. 
 
C25. Si x2 = x . x, entonces, x2 – y2 = (x-y) . (x+y). 
 
AXIOMAS DE ORDEN  (AO)
Los axiomas del sistema de losnúmeros reales que se enuncian a continuación expresan los términos de un subconjunto especial de R (por ejemplo R+ se que identifica el conjunto de los reales positivos).

Cualquier campo con un subconjunto P es un campo ordenado.

En particular se estudia, las propiedades que establecen que el sistema de los números reales es un campo ordenado, con las siguientes propiedades.
A.O.1. Existeun subconjunto R+ de R tal que: 
i) Si a, b ( R+, entonces a + b ( R+ 
a . b ( R+  R+ 
Para cada a ( R+, una y solo una de las sgtes proposiciones es verdadera.
a ( R+; a = 0 ; -a ( R- .
Los elementos a (R , para los cuales a ( R+, son reales positivos. 
Los elementos a ( R , para los cuales -a ( R-, son reales negativos 
(INECUACIONES)...