Calculo Diferencial

Cálculo diferencial
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El cálculo diferencial, una rama de las matemáticas, es el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.
Desde el punto de vista matemático de lasfunciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha funciónen sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.
Contenido
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1 Diferenciación y diferenciabilidad
1.1 Derivadas de orden superior
2 Cociente diferencial de Newton
2.1 Ejemplo1
2.2 Ejemplo 2
2.3 Ejemplo 3
3 El cociente diferencial alternativo
4 Notaciones para la diferenciación
5 Puntos singulares
6 Puntos críticos
7 Derivadas notables
8 Física
9 Cálculo de la derivada
10 Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones
11 Extensión del concepto de derivada
12 Referencias
13 Véase también
14 Enlaces externos
[editar]Diferenciación y diferenciabilidad
La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.
Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es [[Funcióncontinua|continua]] en ''c'', entonces no puede ser diferenciable en ''c''; sin embargo, aunque una función sea continua en ''c'', puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
[editar] Derivadas de orden superior
La derivada deuna función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada, y así sucesivamente.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f(x)en el punto a, se escribe:
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada (n > 3).
Para la función derivada de f(x), se escribe . De modo parecido, para la segunda derivada de f(x) se escribe , y así sucesivamente. Dado que si X= y , Z sera igual a la derivada de X+2.
[editar] Cociente diferencial de Newton

Las derivadas sedefinen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantespróximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos (x,f(x)) y (x + h,f(x + h)) es

Esta expresión es un cociente diferencial de Newton. La derivada de f en x es el límite...