Calculo diferencial

Números Reales




25/02/12


Unidad 1 – Los Números Reales




    En términos históricos el desarrollo del cálculo se produjo al buscar soluciones a problemas de la vida real, entre los más conocidos podemos mencionar:

        - Descubrir la velocidad de una partícula con velocidad constante. 
        - Determinar la ecuación de la tangente a una curva en un punto.
       - Analizar la razón de cambio entre dos variables. 
        - Calcular el área de una superficie y el volumen de un sólido.

    El Calculo sustenta su estudio en el conjunto de los números reales por esta razón es necesario conocer sus axiomas y sus principales propiedades.  

    Existen diversas maneras de iniciar al estudio del sistema de los números reales, pero una de las más utilizadasconsidera los sistemas numéricos más sencillos, el primero de ellos es el conjunto de los números naturales. 

Definición del Conjunto de los Números Reales 

El conjunto de los números reales se denota por N y se define como:  {1,2,3,4..}

Propiedades de los Números Naturales 

1 - Se dice que N es mayor que 1, para todo N que pertenece a los números naturales (1 < N para todo N)

2 –Si k Є N su sucesor como k+1 y además k+1 Є N

2 – Si k Є N y k ≠ de 1, se define como su antecesor como k-1 y además k-1 Є N

Definición del conjunto de los Números Enteros

Se define el conjunto de los números enteros como: Z= {-1,-2,-3,0,1,2,3,4..}


Definición del conjunto de los Números Racionales

Se define el conjunto de los números racionales como Q= {a/b | a y b Є Z, b≠0 }Tarea
Definición de los Números Irracionales y ejemplos.

Numero que no se puede escribir en fracción, el decimal sigue para siempre sin repetirse.
Ej.
1 -  (pi) 3.14159…
2 -  (Aureo) 1.6180..
3 - √99 9.9498
26/01/12
Números Reales R

- Naturales N {1,2,3,∞ }
- Enteros Z {-∞, -1,-2,0,1, 2, ∞}
- Racionales Q {1/2 = 0.2 (exacto), 3/11= 0.27 (periódica) }
-Irracionales I Todos aquellos que no son finitos ni periódicos


Conjunto de números reales se pueden representar gráficamente como puntos sobre una línea recta, conocida como la recta real. Sobre esta recta se fijan dos puntos representados por 0 y 1. Estos puntos permiten construir todos los demás, ya que para representar cualquier número real X se toma un segmento de longitud X a laderecha de 0 si X es positivo o a la izquierda si X es negativo.

Los números definidos a la derecha del 0 se conocen como reales positivos y al conjunto de ellos se representa por R+. De manera análoga, se define R- como el conjunto de todos los reales a la izquierda del 0.

Propiedades de los números reales

El sistema de los números reales es uno de los pilares fundamentalesen el desarrollo de las matemáticas a cualquier nivel, existen muchos resultados que muestran, su importancia histórica. No obstante la presente obra realiza un estudio mas profundo de este conjunto numérico y simplemente se establece el conjunto de axiomas a partir de los cuales se derivan todas las propiedades utilizadas en un curso básico de cálculo.
Axiomas de los Números R
Dado 2números cualesquiera x y y, se define la suma x + y que pertenecen a los números reales y el producto x*y que pertenece a los números reales, que satisfacen los siguientes axiomas:

Axioma 1 – Propiedad conmutativa de la suma.
x + y = y+x


Axioma 2 – Propiedad asociativa de la suma.
x + (y+2) = (x+y) + z


Axioma 3 – Existencia del neutro aditivo.Existe el 0 Є R tan que x + 0 = 0


Axioma 4 – Existencia de inversos aditivos.
Para todo Rx existe –x ЄR tal que x + (-x) = 0


Axioma 5 – Propiedad conmutativa del producto
x + y = y * x


Axioma 6 – Propiedad asociativa del producto
x (y z) = (x y) z


Axioma 7 – Existencia del neutro multiplicativo....