Calculo diferencial

Semana 1
LÍMITES DETERMINADOS:
Si tomamos una cantidad variable “X” a la cual se le asignan los valores siguientes, se forma una sucesión de números crecientes:
1, 2, 3, 3.5, 3.9, 3.99, 3.999, 3.9999,…
La misma variable puede tomar valores decrecientes: 5, 4.2, 4.1, 4.01, 4.001, 4.0001, …
Observando los ejemplos anteriores aceptamos que la variable x “tiende a una constante “a” en este caso4, como un límite. Se dice entonces que la variable “X” tiende a 4 o que su límite es “4”, se representa:
x→4 o Lim x=4
Si por otro lado tenemos una función en la que Y=3x+2 y Damos valores a “X” (Variable independiente) según la tabla de tabulación siguiente, obtendremos valores de “Y” (Variable dependiente)
Como se observa los valores de “X” tienden a “0” y por tanto los valores de Ytienden a “2”
Lo anterior lo simbolizamos:
lim┬(x→0)⁡〖3x+2〗=2


Para evitar estar haciendo los tabuladores de “X” y “Y” constantemente solo sustituiremos el valor de “X” en la ecuación por el valor de el limite al que tiende y así obtendremos el limite de la función o de “Y”
lim┬(x→0)⁡〖3x+2〗=3(0)+2=0+2=2 por lo que para determinar el limite de una función en su forma determinada, SOLO HAY QUESUSTITUIR LA VARIABLE INDEPENDIENTE “X” EN LA FUNCION Y HACER LAS OPERACIONES INDICADAS.

EJERCICIOS
Determina el límite de las siguientes funciones:

lim┬(x→2)⁡〖 (5x-1)〗
〖lim┬(x→1) 〗⁡〖x^2-1〗
lim┬(x→3 )⁡〖x-3〗
lim┬(x→1 )⁡〖(5x^2+1)〗
〖lim┬(x→1) 〗⁡〖(x^2-1)/(x-1)〗
lim┬(x→-4)⁡〖(3x+7)/(x+1)〗
lim┬(x→0)⁡〖(6x^2-3x+2)/(4x-3)〗
lim┬(x→0)⁡〖(5x^3-4)/(x^2+2)〗
lim┬(x→-2)⁡〖5/(x-2)^2 〗lim┬(x→0)⁡〖(x^x+x)/3〗

Determina los siguientes límites determinados por sustitución
















SEMANA 2
Cuando al sustituir el límite obtenemos una ecuación de la forma 0/U entonces el límite será igual a cero Ejemplo:
lim┬(x→-2)⁡〖(4x^2+7x-2)/(3x^2-2x+1)〗
Sustituimos el valor de -2 en x y tenemos:lim┬(x→-2)⁡〖(4〖(-2)〗^2+7(-2)-2)/(3〖(-2)〗^2-2(-2)+1)〗; lim┬(x→-2)⁡〖(4(4)-14-2)/(3(4)+4+1)〗; lim┬(x→-2)⁡〖(16-16)/(12+4+1)〗; lim┬(x→-2)⁡〖0/17〗=0
Si obtenemos una ecuación del tipo U/0 el límite será igual a infinito (∞) Ejemplo:
lim┬(x→3)⁡〖(x^2+2x-1)/(x^2-2x-3)〗
Sustituimos el valor de 3 en x y tenemos:
lim┬(x→3)⁡〖((3)^2+2(3)-1)/(3^2-2(3)-3)〗= lim┬(x→3)⁡〖(9+6-1)/(9-6-3)〗= 14/0=∞

Ahora si obtenemos una ecuación 0/0 este límite será un LímiteINDETERMINADO y para obtener la solución será necesario eliminar el factor de indeterminación, ver ejemplos siguientes:

Se ponen entonces dos paréntesis, el primer término del primer y el segundo paréntesis será la raíz cuadrada del primer término del trinomio
en el primer paréntesis se pone el signo del segundo término del trinomio el signo del segundo término será el que multiplicado porel del primer término deberá de dar el signo del tercer signo del trinomio números de los factores deberán de ser tales que al multiplicarlos deberán de ser igual al tercer término del trinomio, y la suma algebraica debe de ser igual al segundo término del trinomio estos factores serán el equivalente del trinomio que fue multiplicado por 12, por lo que para encontrar los factores del trinomiooriginal deberemos de dividir los factores encontrados entre el numero 12 o los factores del mismo (3)(4) , para el termino de abajo se hace lo mismo
Observando los factores dos de ellos se eliminan los quedando la ecuación Sustituyendo el valor de ½ en esta ecuación tenemos de tal manera que el valor del límite es -1/10
Tarea: resolver los siguientes límites indeterminados

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SEMANA 3
Derivadas
Una derivada tiene tres formas:










Es un límite: En la forma algebraica la derivada representa un limite, Porque si X2 se va acercando a X1 la diferencia de X2- X1 = ΔX se...