Calculo Diferencial

CUADERNO DOCENTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL PRIMERA UNIDAD
Introducción. La importancia del estudio de las funciones y sus derivadas. En su afán de comprender como funciona el mundo físico que nos rodea y con el propósito último de manipularlo en su beneficio, el hombre ha identificado los atributos medibles (variables) que son importantes en un proceso dado. El número de variables físicas asociadasa un objeto es infinito. Por ejemplo, en el caso de un recipiente con agua, podemos mencionar el volumen, el peso, la temperatura, la composición, la densidad, las dimensiones físicas, la cantidad de neutrinos por hora que lo atraviesan, la carga eléctrica, la distancia del recipiente a cualquier punto del universo etc. Obviamente muchas de esas variables son triviales y otras pueden ser encambio objeto de nuestro interés. Aceptemos por lo pronto que el mundo físico es una enorme sopa de variables. Por ejemplo, si estamos interesados en controlar la temperatura de esa agua, entonces esta variable se destaca –subjetivamente- de las restantes y se le denomina la variable dependiente. La siguiente cuestión es ¿Cómo varía el valor de la variable dependiente en términos de otros atributos delmundo físico (variables independientes)? La respuesta es un objeto matemático denominado función, el cual constituye la regla que nos indica como calcular el valor de una variable dependiente, a través de operaciones realizadas entre las variables independientes. La ciencia es la encargada de plantear esas reglas de causalidad que operan en nuestro entorno, muchas veces a través de enunciados deaplicación general llamados leyes naturales. Una función de una variable consta de la variable dependiente y una sola variable independiente. Las funciones multivariables tienen más de una variable independiente. Las funciones que se estudiarán en el curso de cálculo diferencial serán de una variable. En la naturaleza sólo hay funciones multivariables, ninguna variable depende solamente del valorotra, pero por simplicidad puede asumirse que las haya cuando una variable independiente es muy dominante en su efecto. En el caso del recipiente con agua la principal variable independiente podría ser la temperatura del aire que lo rodea y entonces asumir una funcionalidad de una sola variable; la radiación térmica procedente de las paredes de la habitación cuenta poco en condiciones normales ymucho menos el efecto de los rayos cósmicos que atraviesan el recipiente. Otra característica importante del mundo físico es el cambio perpetuo. Todas las variables físicas varían con el tiempo, dicho de otra manera: la derivada de cualquier variable física con respecto al tiempo es distinta de cero. Quien estudie ciencias e ingeniería deberá aprender funciones y sus derivadas, como un requisitopara entender su entorno siempre cambiante. 1. LOS NÚMEROS REALES Las funciones matemáticas tratan con variables numéricas y pueden clasificarse en funciones de variable real o compleja según la naturaleza de los valores numéricos que admitan. Los cursos de cálculo diferencial e integral se referirán a funciones reales exclusivamente. Antes de hablar de funciones conviene repasar el sistema de losnúmeros reales. 1.1 Definición. El sistema de los números reales se define como el conjunto de los números reales; así como el conjunto de operaciones que pueden realizarse entre ellos. Los números reales no poseen una definición precisa y más bien se describen los números que integran ese conjunto. Se 1

clasifican en racionales e irracionales. Otra clasificación consiste en los negativos, lospositivos y el cero. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números reales, p/q. Son irracionales los que no pueden hacerlo. En la tabla se muestran conjuntos numéricos que pertenecen a una y otra categoría. Números Reales Racionales Naturales 1,2,3,4,…. Enteros 3,-2,-1,0,1,2… Fraccionarios -1/3, ½, 5/4, … Decimales finitos 1.5= 3/2, 3.1457 Decimales...