Calculo Diferencial

Curso: C´lculo diferencial a

Clases 1 y 2 : Proposiciones y l´gica o
Semana del 22 al 28 de marzo del 2012 ¿Son las siguientes proposiciones equivalentes? Si una empresa tiene buenos empleados, entonces si dichos empleados trabajan duro la empresa no quebrar´. a Si una empresa tiene buenos empleados y dichos empleados trabajan duro entonces la empresa no quebrar´. a ¿Es el siguiente argumentov´lido? a Si eres un alumno de la UNI entonces eres inteligente. De hecho, t´ eres inteligente y u emprendedor. Por consiguiente, si eres emprendedor entonces debes ser de la UNI. ¿Cu´l es la l´gica del argumento usado en esta decisi´n de la corte suprema de EE.UU.? a o o Roe vs. Wade (410 US 113, 1973): “Este derecho a la privacidad, ya se encuentre, seg´n u pensamos, en la noci´n de libertadindividual de la 14va enmienda y en los l´ o ımites para los Estados que de ello deriva, o se encuentre, seg´n dijo el tribunal de instancia, en la u reserva de los derechos del pueblo en la 9na enmienda, es en cualquier caso lo bastante amplio para incluir la decisi´n de una mujer de interrumpir o no su embarazo.” o

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Proposiciones Simples

Definici´n 1.1. Una proposici´n es un enunciadoque puede ser verdadero o falso. o o Ejemplos 1.2. Algunos ejemplos de proposiciones son “El cielo es azul”, “Ma˜ana es Lunes”, n “´l no es vegetariano”. Las siguientes no son proposiciones: “¿Qu´ d´ es hoy?”, “¡Bravo!”, “No e e ıa escribas esto”. Definici´n 1.3. Si p es una proposici´n sus posibles valores se representan por medio de una o o p tabla de verdad como la siguiente: V F Definici´n 1.4. Lanegaci´n u opuesto de una proposici´n p es la proposici´n con los valores o o o o p ¬p opuestos y es denotada por ¬p. Su tabla de verdad ser´ entonces: V F a F V Ejemplo 1.5. Si p = “Ma˜ana es Lunes”, entonces ¬p = “Ma˜ana no es Lunes”. n n Observaci´n 1.6. ¿Cu´l es el opuesto de “Todos los d´ sale el sol”? Un error com´n es pensar o a ıas u que el opuesto es “Nunca sale el sol”, cuando de hechoel opuesto es “Hay d´ que no sale el ıas sol”. Esto lo estudiaremos en mayor profundidad cuando definamos cuantificadores. Hasta ahora todas las proposiciones que hemos presentados son simples en el sentido que no pueden ser divididas en una combinaci´n de otras proposiciones. A continuaci´n veremos o o c´mo llevar a cabo dichas combinaciones. o 1

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Proposiciones Compuestas

Definici´n 2.1.La conjunci´n de dos proposiciones p, q es la nueva proposici´n “p y q” y o o o es denotada por p ∧ q. La disyunci´n es la proposici´n “p o q” y es denotada por p ∨ q. Las o o tablas de verdad de estas operaciones son p q p∧q V V V V F F F V F F F F p q p∨q V V V V F V F V V F F F

Definici´n 2.2. Si p, q son proposiciones definimos la proposici´n condicional como el enuno o ciado “Si p entoncesq” y la denotamos como p → q. En este caso p se denomina el antecedente y q el consecuente. La proposici´n bicondicional se define como “p si y s´lo si q” y se denota o o por p ↔ q. Las tablas de verdad asociadas son p q p→q V V V V F F F V V F F V p q p↔q V V V V F F F V F F F V

Ejemplo 2.3. Si p = “Termin´ la tarea” y q = “Voy a la playa” entonces la condicional e ser´ p → q = “Si termin´ latarea entonces voy a la playa”. Los valores de la tabla de verdad a e de la condicional son claros en este caso cuando p es verdadero. Cuando p es falso p → q es siempre verdadera porque la condicional no especifica que deber´ pasar si ¬p es verdadero. ıa Definici´n 2.4. Dada una proposici´n condicional p → q podemos definir tres proposiciones o o asociadas a esta La proposici´n conversa o rec´ oıproca se define como q → p. La proposici´n inversa es la proposici´n ¬p → ¬q. o o La proposici´n contrapositiva se define como ¬q → ¬p. o Ejemplo 2.5. Vimos que la proposici´n “Si termin´ la tarea entonces voy a la playa” es una o e condicional. En este caso la rec´ ıproca ser´ “Si voy a la playa entonces termin´ la tarea”, la a e inversa es “Si no termin´ la tarea entonces no voy a la playa” y la...