Calculo Diferencial

Una ventana consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de una ventana es de 260 cm.
Determinar cuánto debe medir el radio del semicírculo y la altura del rectángulo demodo que la ventana admita la mayor cantidad de luz.

r= ¿?
r= ¿?

X= Base
Y= Altura
X= Base
Y= Altura


h
h
y
y

r
r
r
r

|------------------- x -------------------||------------------- x -------------------|

X= 2r
Perímetro de la proporción del rectángulo

Y
Y
Y
Y

r
r
r
r


P=2y+2r
Perímetro semicírculo
p=2πr2P=r




Perímetro de la proporción del rectángulo + perímetro de semicírculo=260
2y+2r +r=260
2y+2r+3.1416r=260
Sumo r
2y+5.1416r=260
Despejo y
Y=260-5.1416r2Áreas
Si b=2r y h=y
Área rectángulo A=bxh
y
y
A= (2r)(y)
|---------2r-------|
|---------2r-------|
A=2ryÁrea del semicírculo
A=πr22

ATotal=Arectángulo + Asemicírculo
ATotal=2ry+πr22
Si y= 260-5.1416r2Sustituyendo y
ATotal=2r260-5.1416r2+πr22
ATotal=260r-5.1416r2+1.57r2
ATotal=260r-3.56r2

F(x)=260r-3.56r2
Sacar la primera derivada
F’(x)= 260-7.12r

Igualar a cero y obtenervalor de r
260-7.12r=0
r=-260-7.12=36.51 cm

Aplicar criterio de la primera derivada
R1=36.51 +0.5=37.01
R2=36.51-0.5=36.01

MÁXIMO
Esto representa la mayor iluminación óptima.
MÁXIMOEsto representa la mayor iluminación óptima.
Sustituir los valores en la primera derivada como cambia de – a + hay un máximo.
F(37.01)=260-7.12(37.01)= [-]
F(36.01)=260-7.12(36.01)= +...