Calculo Diferencial

APLICACIONES IMPORTANTES DEL CALCULO DIFERENCIAL…
*Recta tangente a una función en un punto*
La recta tangente a una función f(nafia) es como se ha visto el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su puntode tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de tangencia que consideremos.
Si conocemos la ecuación de la recta tangente ta(x) a la función f(x) en el punto "a" podemos tomar ta(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del punto "a". Esto quiere decir que si tomamos unpunto "a + h" y lo evaluamos tanto en la función como en la recta tangente, la diferencia f(a + h) − t(a + h) será despreciable frente a "h" en valor absoluto si "h" tiende a cero. Cuanto más cerca estemos del punto "a" tanto más precisa será nuestra aproximación de f(x).
Para una función f(x) derivable localmente en el punto "a", la recta tangente a f(x) por el punto "a" es:
ta(x)= f(a) + f'(a)(x-a)

*Uso de las derivadas para realizar gráficos de funciones*
Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una función de valores reales que llevan a dicha función a unextremo local tendrán una primera derivada de cero. Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Porejemplo, f(x)=x³ tiene un punto crítico en x=0, pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo. La prueba de la primera derivada y la prueba de la segunda derivada permiten determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o ninguno.
En el caso de dominios multidimensionales, la función tendrá una derivada parcial de cero con respecto a cada dimensión en un extremo local. En este caso, la prueba de lasegunda derivada se puede seguir utilizando para caracterizar a los puntos críticos, considerando el eigenvalor de la matriz Hessiana de las segundas derivadas parciales de la función en el punto crítico. Si todos los eigenvalores son positivos, entonces el punto es un mínimo local; si todos son negativos es un máximo local. Si hay algunos eigenvalores positivos y algunos negativos, entonces elpunto crítico es un punto silla, y si no se cumple ninguno de estos casos, la prueba es no concluyente (e.g., los engeivalores son 0 y 3).
Una vez que se encuentran los extremos locales, es mucho más fácil hacerse de una burda idea de la gráfica general de la función, ya que (en el caso del dominio mono dimensional) se incrementará o decrementará uniformemente excepto en los puntos críticos, y porello (suponiendo su continuidad) tendrá valores intermedios entre los valores en los puntos críticos de cada lado.

*Aproximación local de Taylor*
Hemos visto que podemos aproximar mediante su recta tangente a una función derivable localmente en un punto. Si se cumple que la función es suficientemente suave en el punto o dominio de estudio (esto es, la función es de clase ) cabe la posibilidad deintentar aproximar a la función no por polinomios de grado uno, sino por polinomios de grado dos, tres, cuatro y sucesivamente. Esta aproximación recibe el nombre de "desarrollo polinómico de Taylor" y se define de la siguiente manera:

Donde P(x) es el polinomio de grado n que mejor aproxima a la función en el punto x=a. Nótese que si evaluamos P(x) en x=a todos los términos salvo el f(a) seanulan, luego P(a) = f(a). Nótese también que la ecuación de la recta tangente del apartado anterior corresponde al caso en el que n=1.
El polinomio de Taylor es un polinomio "osculador". De entre todos los polinomios de orden no mayor que "n" y que pasan por f(a) el desarrollo polinómico de Taylor de f(x) en x=a es el que posee el contacto de mayor orden con f(x)en "a". Se basa en la idea de...