Calculo Diferencial

CÁLCULO DIFERENCIAL

MATERIAL DE ESTUDIO

VELOCIDAD INSTANTÁNEA DE UN OBJETO QUE SE DESPLAZA EN LÍNEA RECTA

Supongamos que se estuvo siguiendo el desplazamiento de un vehículo por una autopista recta con ayuda de un radar colocado en un cierto punto de la misma, que lo detectó por primera vez cuando se encontraba a 40 kilómetros a su izquierda.
En la siguiente tabla se refleja cómoestuvo cambiando la posición del vehículo con respecto al radar, a partir del momento en que se inició la observación:

|Tiempo transcurrido a partir del inicio de la a observación |Posición del vehículo |
|15 minutos |39.75 km a la izquierda del radar |
|30 minutos|38 km a la izquierda del radar |
|45 minutos |33.25 km a la izquierda del radar |
|60 minutos |24 km a la izquierda del radar |
|75 minutos|8.75 km a la izquierda del radar |
|90 minutos |14 km a la derecha del radar |

Supongamos que el vehículo sufrió un accidente 108 minutos después de que comenzó a ser detectado por el radar, y que hasta ese momento su posición se mantuvo ajustada almodelo matemático que permite obtener los datos que aparecen en la tabla anterior. Se desea conocer si se trató de un accidente de alto riesgo o de bajo riesgo, bajo el criterio de que los accidentes que se producen cuando los vehículos van a 70 km/h o menos son de bajo riesgo, mientras que los que se producen cuando la velocidad es mayor son de alto riesgo.
Evidentemente, para poder dar unarespuesta a esta pregunta, es necesario determinar cuál es la velocidad que llevaba el vehículo en el momento de producirse el accidente.
En la enseñanza media nos enseñan que la velocidad de un móvil puede calcularse dividiendo la distancia recorrida por el móvil entre el tiempo que le tomó recorrerla. Si adoptamos esta idea, necesitamos conocer dónde se encontraba el móvil en el momento enque se produjo el accidente. Esto nos lleva a la necesidad de modelar la relación funcional [pic] que existe entre la distancia [pic] entre el coche y el radar y el tiempo de observación [pic].
Evidentemente, los datos no se ajustan a un modelo lineal para esta relación funcional, ya que el cociente entre las diferencias de valores de [pic] y los correspondientes valores de [pic] no esconstante.
Si se intenta ajustar los datos con ayuda de un modelo cuadrático, es decir, un modelo de la forma [pic] , y se llevan los datos del tiempo a horas (lo cual permitirá realizar los cálculos con números más pequeños), se encuentran las ecuaciones
[pic]
[pic]
[pic]
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se encuentra que [pic] y [pic], con lo cual elmodelo quedaría en la forma [pic]. Sin embargo, como el lector podrá comprobar por sí mismo, a este modelo no se ajustan todos los datos de la tabla, lo cual significa que la relación funcional entre posición y tiempo no puede modelarse cuadráticamente.
Intentemos el ajuste con un modelo cúbico, es decir, de la forma [pic]:
[pic]
La resolución de este sistema de 3 ecuaciones con tresincógnitas conduce a los valores [pic]con lo que el modelo quedaría en la forma [pic], ya que con él pueden obtenerse todos los datos de la tabla inicial de mediciones.
Evaluando este modelo en [pic] (que es el equivalente en horas de [pic] minutos), obtenemos que el vehículo se encontraba a [pic]km a la derecha del radar en el momento en que sufre el accidente. Por lo tanto, la distancia total...