Calculo Diferencial

Instituto Tecnológico de Mérida

ALUMNO: Jesús Leinad Gutiérrez Armenta

TRABAJO: Unidad 1 y Unidad 2




FECHA DE ENTREGA: Viernes 9 de Marzo

DESIGUALDADES E INECUACIONES
Se dice que es una desigualdad cuando una cantidad es mayor o menor que otro, por unas variables o incógnitas que se deben despejar:
2x-3 o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades,según que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

Desigualdades absolutas y condicionales.
Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y lascondicionales.
Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ella
Ejemplo:
a2+ 3 > a
Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales:
Ejemplo:
2x - 8 > 0
que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x.
Las desigualdades condicionales se llamaninecuaciones.
Propiedades de las desigualdades.
1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se añade o se resta un mismo número a cada miembro
Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:

a = b + c
Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:

a + m = b + c + m
Suprimiendo "c" en el segundomiembro, resulta evidentemente 

a + m > b +m
Ejemplos:

9 > 5
9 + 2 > 5 + 2
11 > 7 | -2 > -6
-2 -3 > -6 -3
-5 > -9 |

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, porque estoequivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.
Ejemplo:

6x -2 > 4x + 4
6x -4x > 4 + 2
2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m",resulta:

am = bm + cm.

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:

am > bm

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:

12 > 7
12 * 3 > 7 * 3
36 > 21 | 15 > -25
15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5
3 > -5 |

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismofactor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, también negativo.
Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c
Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene: 

-an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,

-an < -bn

Si -n es recíproca de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.Ejemplos:

3 > -15
3(-4) < (-15)(-4)
-12 < 60 | 64 < 80
64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4)
-16 > -20 |

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:

-7x + 130 < 9 -5x
7x - 130 > -9 + 5

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivosy se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros por "b", resulta:

ab < b2

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por tanto:

a2 < b2

Ejemplo:
7 < 10
73 < 103
343 < 1000

5. Si los dos miembros de una desigualdad son...