calculo diferencial

Junio 1998.

OPCIÓN A.


1. a) Considerar una matriz A de orden m×n con . Razonar si se puede calcular la expresión siendo At la matriz traspuesta de A. (4 puntos)
b)Considerar la matriz , resolver por el método de Gauss:
i) el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es At.A (4 puntos)
ii) el sistema de ecuaciones linealeshomogéneo cuya matriz de coeficientes es A.At (2 puntos)

SOLUCIÓN.

a) Si A es de orden , At es de orden por lo que será de orden y de orden y no podrán restarse las matrices ypor ser de órdenes distintos.

b)
i)





Transformaciones elementales: (1) Cambio de orden de las ecuaciones.
(2) E2 – 2E1 , E3 – 5E1
(3) E2  (–1), E3 : (–3)
(4) Eliminación de la tercera ecuación por ser igual que la segunda


ii)

Transformaciones elementales: (1) Cambio de orden de las ecuaciones (2) E2 – 2E12. Dada la función f(x) = 2x2 + 4 lnx, se pide:

a) ¿Cuál es el dominio de definición de f(x)?. (1 punto)
b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).Razonar si existen máximo y mínimo y, en caso afirmativo, calcularlos. (3 puntos)
c) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de f(x). Razonar si existen puntos deinflexión y, en caso afirmativo, calcularlos. (4 puntos)
d) Determinar, si existen, las asíntotas de f(x). (2 puntos)

SOLUCIÓN.

a) Dom (f) = + pues es eldominio de la función y = ln x

b)  Los intervalos de crecimiento y decrecimiento dependen del signo de la primera derivada:
la función es creciente

 No existen máximos ni mínimospues

c) 

 Un punto de inflexión verifica: :

Tenemos: (posible punto de inflexión)

es un punto de inflexión de f(x).

d) Puesto que es una asíntota vertical...