calculo diferencial

Moisés Villena Muñoz

1.
2.
3.

Coordenadas Polares

EL SISTEMA POLAR
ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
GRÁFICAS DE ECUACIONES EN
COORDENADAS POLARES: RECTAS,

CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS,
LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES.

Objetivos:
• Graficar Rectas, circunferencias, parábolas, elipses,
hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales encoordenadas polares

1

Coordenadas Polares

Moisés Villena Muñoz

1 EL SISTEMA POLAR
El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas
de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este
punto esté definido por un vector de magnitud r que parte desde el origen y
que tiene ángulo de giro

θ , tendríamos otra forma de definir un punto.

Seríasuficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor
de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado
en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto.
Se deducen las siguientes transformaciones:
⎧
2
2
⎪r = x + y
De rectangulares a polares: ⎨
⎪θ = arctg y
x
⎩

⎧ x = r cos θ
De polares a rectangulares: ⎨
⎩ y = r sen θ

Unautilidad de lo anterior la observamos ahora.

Ejemplo
Encuentre las coordenadas polares del punto P(1,1)
SOLUCIÓN:
Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:

2

(r ,θ ) ,

Coordenadas Polares

Moisés Villena Muñoz

⎧r = 1 2 + 1 2 = 2
⎪
π
⎪θ = arctg 1 =
1
4
⎩

Utilizando las transformaciones ⎨

Además se podría utilizar otras equivalencias polares:

( 2 , π ) = (2 ,−7 π ) = ( − 2 ,5 π ) = (− 2 ,−3 π ) (Analícelas)
4
4
4
4

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares,
no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer
directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano
que tenga como referencia ángulos y magnitudes.
Un plano con estas características se lo llama SistemaPolar o Plano Polar.
Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al
origen con diferentes ángulos de inclinación.

π
Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje 2 ”.
El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

3

Coordenadas Polares

Moisés Villena Muñoz
π

105

120

Eje

75
60

2

45135

150

30

15

165

Eje Polar

180
Polo

195

345
330

210

225

315
300

240
255

270

285

Ejercicios propuestos 1
1.

2.

3.

Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas.
Exprese dichos puntos con r > 0 y con r < 0 .
π
a. (1, )
b. (3,0)
2
2π
d. (−1, π)
c. (4,− )
3
3π
e. (−2, )
2
Construya un plano polary marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego
encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos.
π
a. ( 2 , )
e. (4,3π)
4
π
2π
f. (2, )
b. (−1, )
3
3
7π
5π
g. (−2,− )
c. (4,− )
6
3
5π
3 3π
h. (−4, )
d. ( , )
2 2
4
Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos.
a. (−1,1)
b. (2 3 ,−2)
c. (−1,− 3 )

4.

4

d. (3,4)(INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares.
Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas.
π
3π
π
π
π
b. ( 2 , ) − (1,4π)
c. (1, ) − (1, )
a. (1, ) − (3, ) .
6
4
3
6
4

Coordenadas Polares

Moisés Villena Muñoz

2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES
Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma
r= f (θ) . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos
obtener una tabla de valores para ciertos puntos y representarlos en el sistema
polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos.
Ejercicio Propuesto 2
1.

Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada.
a. r sen(θ) = 2
b. r = 2 sen(θ)
1
c. r =
d. r 2 =...