calculo diferencial




Área de Matemáticas
“Apuntes de Clases de Cálculo Diferencial”













Chapingo, México, a 16 de diciembre de 2013

Unidad I. Funciones

Función Lineal.
y = mx + b
Función Cuadrática.
y = ax2 + bx + c
Función Cúbica.
y = ax3 + bx2 + cx + A
Función: Una función del conjunto A (Dominio) en el conjunto B (contradominio) es una regla que asigna a cada elemento a∊A uno y solamente un elemento b∊ B, y se escribe f(a) = b∊ B. Elemento f(a) = b se llama imagen. En particular A ∊ R, B ∊ R. En el eje x se pone el dominio de la función y en el eje y se pone el contradominio de la función.


Ejemplos:
1.- Graficar la función f(x) = x2 o y = x2


2.- x = y2

3.- y = x3

4.- y = 1/x






5.- Graficar la función 2x2 + 5x – 7
x
y = f(x) = 2x2 +5x – 7
(x, f(x))
-3
y = f(-3) = 2(-3)2 + 5(-3) – 7
(-3,-4)
-2
y = f(x) = 2(-2)2 + 5(-2) – 7
(-2,-9)
-1
y = f(x) = 2(-1)2 + 5(-1) – 7
(-1,-10)
0
y = f(x) = 2(0)2 + 5(0) – 7
(0,-7)
1
y = f(x) = 2(1)2 + 5(1) – 7
(1,0)
2
y = f(x) = 2(2)2 + 5(2) – 7
(2,11)
3
y = f(x) = 2(3)2 + 5(3) – 7
(3,26)


Nota: Rango = Es el conjunto de imágenes.

6.- Graficar la función y = √x
x
y= f(x) = √x
(x, f(x))
0
y = f(0) = √0
(0,0)
1
y = f(1) = √1
(1,1)
2
y = f(2) = √2
(2, √2)
3
y = f(3) = √3
(3, √3)
4
y = f(4) = √4
(4, 2)
9
y = f(9) = √9
(9, 3)
16
y = f(16) = √16
(16, 4)


NOTA: Los elementos “x” que no tienen imagen, no forman parte del dominio de la función. Solamente las imágenes forman parte del rango de la función.

Intervalos.
Un intervalo esun espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una porción de recta entre dos valores dados.

[-1,3] = {x∊ R | -1≤x≤3} (Incluye a los extremos).
-2
-1
0
1
2
3
4

]-1,3[ = {x∊ R | -10 = lim h->0 = lim h->0 = 1

3.- f(x)=x2 lim h->0 = lim h->0 = lim h->0
= lim h->0 = lim h->0 = lim h->02x+h = 2x+0 = 2x

4.- f(x)=x3 lim h->0 = lim h->0 = lim h->0
= lim h->0 = lim h->0 3x2+3xh+h2 = 3x2+0+0 = 3x2

lim h->0 = = =





f´(x) Notación debida a Euler y Leibniz.



Leonard Euler.
Leonard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza. Murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Vivió en Rusia la mayor parte de su vida. Probablemente fue uno delos más grandes matemáticos de la historia, comparable a Gauss, Newton o Arquímedes.

Fue discípulo de un gran matemático como lo fue Johann Bernoulli, pero superó rápidamente el notable talento matemático de su maestro. Su carrera profesional se circunscribió a las Academias de Ciencias de Berlín y San Petersburgo, y la mayor parte de su trabajo se publicó en los anales de ciencias de estasinstituciones. Fue protegido de Federico el Grande, en cuya corte protagonizó discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la Retórica, la Metafísica y la física.

Perdió la vista de un ojo durante un experimento en óptica, y en 1766 la vista del otro, ya de mayor. Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajosse los dictó a su hijo mayor.

Posiblemente es el matemático más prolífico de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), la mayor parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos comenzó en 1911 y no hay indicios de que secomplete. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes, pero en la actualidad se supone que alcanzará los 200 con facilidad. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss.
Gottfried Leibniz.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716)...