Calculo diferencial

CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
Deffiiniiciión 1..-- Una función es un conjunto de pares ordenados ������ ; ������ tal que dos
De n c ón 1
pares ordenados diferentes no tienen la misma primera componente.
Nottaciión..-No ac ón
������ =

������ ; ������ / ������1 ; ������1 ≠ ������2 ; ������2 ⟹ ������1 ≠ ������2 ,
������: ℝ ⟼ ℝ������ ⟼ ������ ������ = ������,

Donde:

������ , sellamavariableindependiente
������, sellamavariabledependiente .

Domiiniio de lla ffunciión..-Dom n o de a unc ón
������������������ ������ = ������ ������ es la primera componente de������ ⊆ ℝ.
Rango de lla ffunciión..-Rango de a unc ón
ℛ������������ ������ = ������ ������ es la segunda componente de������ ⊆ ℝ.

CALCULO diferencial

Ejjempllo1..-- Sea ������ =
E emp o 1

Prof. Lucy Salazar Rojas

������ ; ������ ∕ ������ = 1 − ������ 2 . Hallar el dominio y rango de ������ .

Soll::
So
-Hallando el dominio de ������ :
������ =

1 − ������ 2 ⟹ 1 − ������ 2 ≥ 0 ⟹ ������ 2 − 1 ≤ 0 ⟹ ������ − 1 ������ + 1 ≤ 0 ⟹ P. C
= −1; 1 .

∴ ������������������ ������ = −������; ������ .

-Hallando el rango de ������: despejar ������en función de ������.

CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

Como ������ = 1 − ������ 2 ⟹ ������ ≥ 0 . Entonces:
������ 2 = 1 − ������ 2 ⟹ ������ 2 = 1 − ������ 2 ⟹ ������ =

1 − ������ 2 ⟹ 1 − ������ 2 ≥ 0 ⟹ ������ 2 − 1 ≤ 0

⟹ ������ − 1 ������ + 1 ≤ 0 ⟹ P. C = −1; 1 . Pero con la restricción se tiene:
������������������ ������ = ������; ������ .
Ejjempllo 2..-- Hallar eldominio y rango de la función:
E emp o 2
������ ������ =

1
������

Soll::
So
������ =

1
⟹ ������������������ ������ = ℝ − 0 = −∞; 0 ∪ 0; +∞ .
������

������ =

1
⟹ ℛ������������ ������ = ℝ − 0 = −∞; 0 ∪ 0; +∞ .
������

Ejjempllo 3..-- Hallar el dominio y rango de la función: ������ = 4 − ������ .
E emp o 3
Soll::
So
������ = 4 − ������ ⟹ 4 − ������ ≥ 0 ⟹ ������ − 4 ≤ 0 ⟹������ ≤ 4 ⟹ ������������������ ������ = −∞; 4 .
Como ������ = 4 − ������ ⟹ ������ ≥ 0 . Despejando ������ :
������ 2 = 4 − ������ ⟹ ������ = 4 − ������ 2 ⟹ ������ ∈ ℝ.
Pero con la restricción:
������������������ ������ = ������; +∞ .

CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

Gráfiica de una funciión..Gráf ca de una func ón Deffiiniiciión 2..--Sea ������: ℝ ⟼ ℝ una función. Lagráfica de ������ está definida y
De n c ón 2
denotada por:
������������������ ������ =

������; ������ ∈ ℝ������ ∕ ������ = ������ ������ .

Observaciión 1..-- Una recta vertical intersecta a la gráfica de una función, sólo en
Observac ón 1
un punto.
Ejjempllo 4..-- Hallar el dominio y rango de la función definida a trozos:
E emp o 4
������ − ������,
������ ������ = ������,
������������ +������,
Soll::
So

������������������ ������ = ℝ = −∞; +∞ .

������������ ������ < 3
������������ ������ = ������
������������ ������ > 3

CALCULO diferencial

Prof. Lucy Salazar Rojas

ℛ������������ ������ = −∞; 2 ∪ 5 ∪ 7; +∞ .
Operaciiones con ffunciiones..-- Sean ������ , ������ funciones:
Operac ones con unc ones
Deffiiniiciión 3..--La suma denotada por ������ + ������ es lafunción definida por
De n c ón 3
������ + ������ ������ = ������ ������ + ������ ������ ,

������������������ ������ +������ = ������ ������ ∩ ������ ������ .

Deffiiniiciión 4..-- La diferencia denotada por ������ − ������ es la función definida por
De n c ón 4
������ − ������ ������ = ������ ������ − ������ ������ ,

������������������ ������ −������ = ������ ������ ∩ ������ ������ .Deffiiniiciión 5..--El producto denotado por ������ . ������ es la función definida por
De n c ón 5
������ . ������ ������ = ������ ������ . ������ ������ ,

������������������ ������ .������ = ������ ������ ∩ ������ ������ .

Deffiiniiciión 6..--El cociente denotado por ������ ∕ ������ es la función definida por
De n c ón 6
������
������

������ =

������ ������
,...