Calculo Diferencial

3.1. Limites de una sucesión

Una sucesión genérica se simboliza por a1, a2, a3, ..., an , ... en la que el subíndice denota, con toda exactitud, el lugar que cada término ocupa en la misma. Así,a5 es el quinto término de la sucesión.
Cuando en una sucesión haya que referirse a un término cualquiera sin especificar el lugar que ocupa se hará siempre mención al término an , denominado términon-ésimo. En definitiva, el lugar que cada término tome en una sucesión será de vital importancia a la hora de hacer un mínimo análisis del comportamiento de la sucesión.
La simbolización de unasucesión por a1, a2, a3, ..., an , ...; o más simplificadamente
Se debe recordar que el término general de una sucesión es una expresión que permite conocer un elemento cualquiera siempre que se sepa ellugar que ocupa.
El límite de una sucesión particular es generalmente un número o un punto definido L, con la condición que todos los términos de esa sucesión particular estén muy cerca de L paragrandes cifras de n. En caso de que el límite esté presente, se dice entonces que la sucesión es convergente y converge en el punto definido L. En el caso complementario, se dice que la sucesión esdivergente.
Matemáticamente la definición puede ser demostrada suponiendo an} sea la sucesión y l un número real. Si por cada ε › 0 entonces encontramos m N, tal que, n N, es l y se escribe an=l. Esto selee como: Como n tiende al infinito, tiende a l.
Además, si para una sucesión an se podemos encontrar un numero M positivo, tal que, | an | M n N entonces la sucesión { an } se dice que es cerrada.Similarmente, las sucesiones pueden estar creciendo o decreciendo.
Algunas de las propiedades generales de los Límites de una Sucesión incluyen:
1).Los Límites de las sucesiones de origenconvergentes son únicos.
2). Una sucesión de origen convergente es siempre cerrada y viceversa.
3). En el caso de las sucesiones {an} n 1, junto con {bn} n 1 son de origen convergente y x e y son números...