Calculo Diferencial

C A L C U L O.

CAPITULO

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1.1.- CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
Dios hizo los Naturales, los demás
números los hicieron los hombres.

Objetivo.Que el alumno conozca las propiedades de los números reales, sepa
identificarlos y sepa cual es el interés de conocerlos a la luz del cálculo.
1.1..- Definición de Número Real.
1.1.1.- Introducción
Iniciaremos estetema con una pregunta:
¿Recuerda como fue su primera aproximación al estudio de las matemáticas?
Seguramente, y con un par de excepciones que esperamos se multipliquen, a usted lo iniciaron en
el estudio de las matemáticas aprendiendo primero los números. ¿Cierto?.
¿Por qué esta aproximación?.
Porque parece lógico que si vamos a operar con y sobre NUMEROS, entonces, antes que nada
hay, queconocerlos. ¿Cierto?.
¿Recuerda cómo confundía el 2 con el 5 y no sabía porqué al 7 le antecedía el 6 y cómo el 8 le
parecía un doble 3?.
¿Recuerda las páginas y páginas que llenó de números?.
¿Recuerda los grandes cartelones que su miss tenía en el salón con chicos numerotes estampados
en ellos?.
El objetivo era que a base de machacar día tras día con los famosos números, lograra conocerlosy reconocerlos. Ya después veríamos para qué sirven y en qué y cuándo se utilizan. Por supuesto
que, a menos que usted sea disléxico, en estos momentos ya tiene una gran habilidad en el
manejo de los enteros. Los conoce, los reconoce, sabe cuándo utilizarlos y sabe cómo utilizarlos
para resolver cierto tipo de problemas.

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FLORES AVILA

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Además, para estas alturas de su vida de estudiante, usted ya conoce y ha manejado diferentes
elementos de trabajo de las matemáticas, los que por lo general se definen mediante un conjunto.
Recordemos:
1.1.2.- El Conjunto N de los Naturales.El conjunto de los Naturales ( N ) que son los enteros positivos excluyendo el cero.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . , k, . . . }
que nossirven para contar y que utilizamos en una primera aproximación a la aritmética.
1.1.3.- El Conjunto Z de los Enteros.El conjunto de los Enteros ( Z ) que son los enteros positivos y negativos mas el cero.
Z = { . . . , –k, . . . –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . , k, . . . }
y que hemos utilizado en una segunda aproximación a la aritmética.
1.1.4.- El Conjunto Q de los Racionales.El conjunto de losRacionales ( Q ) que vienen a ser los quebrados o números fraccionarios, y
que son números cuya expresión es de la forma n/m con n y m enteros y m diferente de cero.
Q = {. . ,-n/m, . . , -1, . . -

, . . , - ,. . . - ,. . 0, . . , , . . , ,. . ,

,. . , 1, . . ,n/m,. . . }

y que hemos utilizado en una etapa avanzada de la aritmética.
1.1.5.- El Conjunto Ir de los Irracionales.También hautilizado el conjunto de los Irracionales ( Ir ; Quizá no los conoce con este nombre) y
que son los números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros, como por
ejemplo: el número π, empleado para calcular el perímetro de una circunferencia o el área de un
círculo; el número e que es la base del logaritmo natural y, en fin, la raíz cuadrada de los números
que NO son cuadradosperfectos, por ejemplo, la raíz cuadrada de: 2, 3, 5, 6, 7, 8, etc.
Ir = { a / a ∉ Q }
1.1.6.- Comentarios.Nótese que en este proceso de aproximación a los números, el conjunto que va quedando atrás
está contenido en el siguiente. Por ejemplo, los Naturales forman parte de los Enteros y estos de
los Racionales, sin embargo, los Racionales NO contienen a los Irracionales ni estos a aquellos.
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Esto significa que dado un número A:
•

Si es Natural, entonces es Entero y por lo tanto es Racional.

•

Sin embargo, si A es Z puede NO ser N y

•

Si A es Q puede NO ser ni Z ni N.

•

Por otro lado, si A es Racional NO puede ser Irracional y

•

Si es Irracional NO puede ser Racional....