Calculo Diferencial

Cálculo Diferencial
1. Concepto de Derivada de una función en un punto.
2. Función derivada de otra función.
3. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones.
4. Aplicaciones de la derivada.
5. Representación gráfica de funciones polinómicas y racionales.
Objetivos Mínimos
1. Conocer la definición de derivada de una función en un punto, interpretarla gráficamente y aplicarla parael cálculo de casos concretos.
Relación entre la derivabilidad y la continuidad de una función.

2. Conocer las reglas de derivación y utilizarlas para hallar la función derivada de otra.

3. Utilizar la derivación para hallar la recta tangente a una curva en un punto, los máximos y mínimos de una función, los intervalos de crecimiento, etc.
Aplicación del cálculo diferencial en laresolución de problemas de Optimización.

4. Conocer el papel que desempeñan las herramientas básicas del análisis (límites, derivadas...) en la representación de funciones y dominar la representación sistemática de funciones polinómicas y racionales.

Introducción.-
El concepto de derivada surgió como resultado de grandes esfuerzos de los matemáticos (durante muchos años), dirigidos aresolver dos problemas:
1. Determinar la recta tangente a una curva en uno de sus puntos.
2. Encontrar el valor de la velocidad instantánea en movimientos no uniformes.

En el siglo XVII un gran matemático como Isaac Newton dio una respuesta completa a estos problemas mediante la invención del cálculo diferencial.
Un siglo más tarde, un matemático tan importante como Euler contribuyó a mejorar elconcepto inventado por Newton.
Pero no fue hasta principios del siglo XIX cuando Cauchy, al relacionar el concepto de derivada con el de límite, hizo que el cálculo de derivadas se transformase en un proceso claro y sistemático que permite hoy en día manejar este concepto con mayor soltura que los grandes matemáticos anteriores a Cauchy.

Al estudiar las funciones podemos proceder con unenfoque estático (¿cuánto vale “y” para un valor concreto de “x”?) o bien mediante un enfoque dinámico (¿con qué rapidez se produce la variación de la variable “y” en relación a la variación de la variable “x”?).
En esta unidad didáctica haremos un estudio de las funciones desde un punto de vista dinámico, empezaremos estudiando la variación relativa (que se corresponde con el concepto de tasa devariación media de una función) y a partir de aquí definiremos la variación instantánea que se corresponderá con el concepto de derivada de una función en un punto.
1. Concepto de derivada de una función en un punto
Observa la gráfica de estas dos funciones:


La función crece 3 unidades al pasar del punto al
La función crece 3 unidades al pasar del punto al .
Sin embargo elcrecimiento medio de cada una de estas funciones es muy distinto:
Para la función: su crecimiento medio es: en el intervalo [0,9]
Para la función: su crecimiento medio es: en el intervalo [1,2]
Se define la Tasa de variación media (TVM) de una función en un intervalo como el cociente:

Frecuentemente el intervalo se designa: en el que h es la longitud del intervalo. En tal casotendremos que:


Geométricamente la TVM de la función en un intervalo nos da la pendiente de la recta secante que une los puntos A y B siendo:
,
Observa la gráfica de la función: (en azul), los puntos de coordenadas .









La recta secante que une con tiene por pendiente, según hemos visto, la TVM de la función en el intervalo .
La recta secante que une contiene por pendiente, según hemos visto, la TVM de la función en el intervalo .
La recta tangente a la función en el punto se obtiene como límite de las rectas secantes. Es lógico, por tanto, que su pendiente sea el límite de las pendientes de las rectas secantes cuando la longitud del intervalo: h se hace cero ( ).
Así pues, si el incremento medio de una función en un intervalo se...