Calculo Diferencial

Números reales
Los números reales se emplean en todas las ramas de las matemáticas y es importante estar familiarizados con los símbolos que los representan:
1, 73, -5, -49/12, √2, 0, ³√-85, 0.333…, 596.25
* Los enteros positivos o números reales son:
1, 2, 3, 4, 5, 6,7…
* Los números enteros negativos son.
-1,-2,-3,-4,-5…
Un número racional es un número real que puede expresar dela forma a/b en donde a y b son enteros y b≠0. Nótese que todo entero a es un numero racional, puesto que puede expresarse de forma a/1. Es posible expresar todo numero racional como un decimal; por otro lado las representaciones decimales para números racionales son finitas o no finitas repetitivas.
5/4= 1.25 finito 177/55= 32.18181818 infinito repetitivoLos números reales que sonirracionales los podemos representar con números decimales, pero siempre series infinitas y no repetitivas: π= 3.1416

Ejercicios:

1) 1 real racional positivo
2) 73 real racional positivo
3) -5 reales racionales negativos
4) 49/12 real racional repetitivo
5) √2 Real racional finito
6) 0 real racional cero
7) ³√-85real racional negativo
8) 0.333 real racional repetitivo9) 596.25 real racional finito
10) √-1 imaginario

Tricotomía:
La propiedad de tricotomía es la que garantiza tres posibilidades dentro de los números reales
a<b
b<a
a=b
Transitividad:
La transitividad nos dice que siendo a, b, c números reales, si a =b y b= c entonces a=c así mismo garantiza para los axiomas de orden siendo a, b, c números reales. Si se tiene que a<b yb<c entonces a<c. los axiomas de los números reales son los siguientes:
* Cerradura: si a y b están en R entonces a + b y a*b son números determinados en forma única que están también en R.
* Propiedad conmutativa: si a y b están en R entonces a + b= b + a y a*b= b*a
* Propiedad asociativa: si a, b y c están en R entonces a+ (b+c)= (a+b)+c y a(b*c)=(a*b)c
* Propiedaddistributiva: si a, b y c están en R entonces a-(b+c)=ab+ac
* Existencia de elementos neutros: R contiene dos números distintos 0 y 1 tales que a+0= a, a(1)= a para a que pertenece a los reales
* Elementos inversos: si a esta en R entonces existe un (-a) en R talque a+(-a)=0, si a esta en R y a es diferente de 0 entonces existe un elemento 1/a en R talque a(1/a)=1

Densidad:
La densidadde los números racionales y de los números irracionales en R nos dicen que, dados dos números reales diferentes X y Y su promedio x+y2 están comprendido en X y Y por lo tanto entre dos números reales sin importar lo cercano que se encuentra hay una infinidad de números reales. Esto implica que dado un numero real cualquiera X no tiene sentido expresiones tales como “el numero real siguientes a X”o “el numero real anterior a X”
Ejercicio:
Demostrar que
x=-b±b2-4ac2a
1) ax2+bx=c
ax2a + bxa=-ca → x2+bxa=-ca
2)a+b2=a2+2ab+b2
c2=a2x2 → c=ax2cd=abx → 2axd=abx → 2d=b d=b 2
d2=b24
aaax2+bx+c=0 → 1aa2x2+abx+c=0
12a2x2+abx+b24-b2a+c=0 → ax+b22-b24a+c=0
1aax+b22-b24+c=0 → ax+b22a=b24a-c
ax+b22a-b24a+aca=0 →ax+b2=ab24a-c
ax+b2=b2a-ac → ax+b2=b2-4ac4

ax+b2=±b2-4ac4 → ax=-b2±-4ac2
x=-b±b2-4ac2a → x=-b±b2-4ac2a

Resolver:
1.- 6x-7=2x+5 2.- 8x-23x+4=ax+36x-1
6x-2x=5+7 24x2+32x-6x-8=24x2+14x-3
4x=12 26x-14x=-3+8
x=124=3 12x=5 x=512

3.- 32x-4-5x+3=2x-222x-2-5x+3=2x-2
2x-2x+332x+2-5x+3=2x-22x-2x+3
2x-2x+332x-2-2x-2x+35x-3=2x-22x-2x+3
3x+3-10x-2=4x+3
3x+9-10x+20=4x+12 -7+29=4x+12
29-12=4x+7x 17=11x x=1711
4.-3x2=10-x
x=-1±12-43-1023 x=-1±1+1206 x=-1±1216
Valores X | Valores Y |
-3 | 14 |
-2 | 0 |
-1 | -8 |
0 | -10 |
1 | -6 |
2 | 4 |
x= 53 x₂=-2

Ejercicios:

1.- -3x+4=-1...