Calculo Diferencial

LA DERIVADA
3.1 DEFINICION DE DERIVADA
La derivada de una función con respecto a una variable es el límite, del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.
NOTACIÓN DELTA.
Sea ƒ una función. Es usual asignarle a x cualquier argumento de ƒ, y a y el valor correspondiente de ƒ. Entonces, y = ƒ(x). Se considera cualquiernumero xₒ en el dominio de ƒ. Sea ∆x (se lee “delta x” que representa un pequeño cambio en el valor de x, de xₒ a xₒ + ∆x, y sea ∆y (se lee “delta y” que denota el cambio correspondiente en el valor de y, por lo cual, ∆y = ƒ(xₒ+∆x) – ƒ(xₒ).
Entonces la razón
ΔyΔx = cambio en y cambio en x = ƒxₒ+∆x-ƒ(xₒ)∆x

Se denomina tasa de cambio o razón de cambio promedio de la función ƒ en el intervalo entrexₒ y xₒ + ∆x.
Ejemplo:
Sea y= ƒ(x) y xₒ =x² +2x. Comenzando en xₒ = 1, cambiar x a 1.5. Entonces ∆x = 0.5. El cambio correspondiente en y es ∆y = ƒ(1.5) – ƒ(1) = 5.25 – 3 = 2.25. Por lo tanto, la tasa de cambio promedio de y en el intervalo entre x = 1 y x = 1.5 es ΔyΔx = 2.250.5 = 4.5
LA DERIVADA
Si y = ƒ(x) y xₒ está en el dominio de ƒ, entonces, por la tasa de cambio instantánea de ƒ enxₒ se entiende el límite de la tasa promedio de cambio entre xₒ y xₒ + ∆x cuando ∆x se aproxima a 0:
lim△x→0ΔyΔx= lim△x→0fx₀+ △x-f(x₀)△x

NOTACION PARA DERIVADA.
Se considera la derivada de ƒ en el punto arbitrario x en su dominio:
lim△x→0ΔyΔx= lim△x→0fx+ △x- f(x)△x
El valor de la derivad es una función de x, y se indicara mediante cualquiera de las siguientes expresiones:
Dₓ y = dydx =y′ = ƒ′ (x) = ddx y = ddx ƒ(x) = lim△x→0ΔyΔx

El valor ƒ′(a) de la derivada de ƒ en un punto específico a algunas veces se indica mediante dydx │ᵪ ‗ ₐ
Ejercicios:
1. Hallar la derivada de y=ƒ (x) = x²+3x+5.
∆y = ƒ(x + ∆x) – ƒ(x) = [(x+∆x)² + 3(x+∆x) + 5)] - [x²+3x+5]
= [x²+2x ∆x + (∆x)²+3x+3 ∆x+5] - [x²+3x+5] = 2x ∆x + (∆x)²+3 ∆x
= (2x+∆x+3) ∆x
ΔyΔx =2x + ∆x+3.Entonces, dydx = lim△x→0(2x+△x+3)=2x+3

2. Encontrar la derivad de y = ƒ(x) = 1x-2 en x=1 y x=3.
∆y = ƒ(x+∆x) – ƒ(x) = 1x+∆x-2 - 1x-2 = x-2-(x+∆x-2)x-2(x+∆x-2)
= -∆xx-2(x+∆x-2)
ΔyΔx = - 1x-2x+∆x-2 .

Entonces, dydx = - 1x-2x+∆x-2 = - 1(x-2)²
En x= 1, dydx = - 1 (1-2)² = -1. En x= 3, dydx = - 1(x-2)² = - 1.

3. Hallar la derivada de ƒ(x) =2x-33x+4 .
ƒ(+∆x) = 2x+∆x-33x+∆x+4
ƒ(x+∆x) – ƒ(x) =2x+2 ∆x-33x+3 ∆x+4 - 2x-33x+4
= 3x+42x-3+2 ∆x-2x-3[3x+4+3 ∆x](3x+4)(3x+3 ∆x+4)
=6x+8+6x+9∆x(3x+4)(3x+3 ∆x+4) = 17 ∆x(3x+4)(3x+3 ∆x+4)
ƒx+∆x-ƒ(x)∆x = 17(3x+4)(3x+3 ∆x+4)
ƒ′ (x) = 17(3x+4)(3x+3 ∆x+4) =17(3x+4)²

3.1.1INTERPRETACION GEOMETRICA E INTERPRETACION FISICA
Sea la curva representativa de la función y = (x), A (x, y) un punto de la curva α la inclinación de la tangente en A, β, la inclinación de la secante A B y Δ x y Δ y los incrementos de la variable x la función y al pasar del punto A al B.
A y y = (x)Δy

A A x

A x

Por definición: ΔyΔx = tan β (pendiente de la secante A B).
Pasando al límite:
limΔx→0ΔyΔx= limΔx→0tanβ=tanα pendiente de la tangente en A.

Luego, por definición dederivada: ′ (x) = tan α.
La derivada de la función y= (x) en el punto A(x , y) está representada geométricamente por la pendiente de la tangente a la gráfica en este punto.
PENDIENTE DE UNA CURVA EN UN PUNTO
Se llama pendiente de una curva en un punto, la pendiente de la tangente en ese punto. Y como la pendiente de la tangente es el valor de la derivada en este punto, resulta que la pendiente de...