Calculo Diferencial

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CÁLCULO I
( DIFERENCIACIÓN EN  )
Profesores: José Carlos Bellido Muñoz y Julián Herranz Calzada
Departamento de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales

INTRODUCCIÓN EL PROBLEMA DE LA VELOCIDAD DE UN MÓVIL Un móvil se desplaza t3 metros durante los t primeros minutos de su viaje, siendo t el tiempo transcurrido. Queremos saber qué tan rápido se mueve al cabo de 2 minutos.Sabemos que la velocidad media se define como la razón entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo. Lo que se desea conocer es la velocidad instantánea del móvil al cabo de 2 minutos.
Para ello, podemos comenzar calculando velocidades promedio del móvil durante pequeños intervalos de tiempo. Consideremos, en primer lugar, t = 2 y t1 = 2,1 Al principio del intervalo, el móvil se hadesplazado 23 = 8 metros Al final del intervalo, el móvil se ha desplazado 2,13 = 9,261 metros

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Entonces, en 0,1 minutos se ha movido 9,261 – 8 = 1,261 metros.

Su velocidad promedio en ese intervalo de tiempo será

1, 261  12, 61 m / min 0,1

Esto es una estimación de la velocidad en el tiempo t = 2 minutos Para lograr mayor exactitud, se utilizan intervalos de tiempo más pequeños,incluso en atraso en lugar de en adelanto:

t1  2, 01

2, 013  23 v  12, 0601 m / min 0, 01

t1  1,99 t1  2, 001

23  1,993 v  11,9401 m / min 0, 01 2, 0013  23 v  12, 006 m / min 0, 001

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Estos valores estimados son también aproximaciones a la velocidad en el tiempo t = 2 minutos. Lo que en realidad se quiere encontrar es el valor del cociente:

t3  8 t2
cuando tse aproxima a 2. Es decir:

 8  t3   2t

 si en atraso  

 t3  8  lim   lim  t 2  2t  4   12 m / min  t 2  t  2  t 2
Resultado sugerido por las estimaciones de la velocidad promedio calculadas anteriormente.

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0 0 La simplificación del factor común del numerador y denominador, t – 2 , es factible pues el que t  2 significa, por la definición de límite, que tnunca es 2, aunque se aproxime a dicho valor tanto como queramos.

Observar que para t = 2 el cociente cuyo límite se calcula es

Si denominamos S a la función de posición que nos proporciona la situación respecto al origen del móvil como función del tiempo t, y consideramos un lapso de tiempo t, contado a partir del instante t, tenemos que: S = S(t+t) – S(t) es el cambio de distanciaEntonces, la velocidad media, razón media del cambio de la distancia respecto al tiempo, viene dada por:

S t
La velocidad “instantánea” , en el instante t, viene dada por:

V (t )  lim
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S(t  t )  S(t )  S(t ) t 0 t

Análogamente, se ve que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Definición: Dada una funciónf(I, ), y un punto x0I, se denomina derivada de f(x) en x0 al siguiente límite, si existe:

f ( x 0  h)  f ( x 0 ) k f ( x 0 )  Df ( x 0 )  lim  lim h0 h h0 h

Si este límite existe (es un valor real), su valor será la derivada de f en x0 y se dice que f es derivable en x0.

y

y = f(x)
f(x1) k f(x0)

h  x1  x 0  x1  x 0  h
En f(I, ): a cada h(>0 ó 0 Resolución:

 xh  h ln  ln 1    f ( x  h)  f ( x ) ln( x  h)  ln x  x   lim  x   f ( x )  lim  lim  lim h0 h0 h0 h0 h h h h h 1 1 h h 1   x  llamando 1   u   Si u  1: ln u  u  1  lim  lim  h0 x 0 xh x h x  
En x 0 sería : f '( x 0 )  1 con x 0  0, ya que f (x ) sólo  para x  0 x0

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DERIVADA A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA DE UN PUNTO Derivada de f(x) conrespecto a x, a la derecha de x0: Se denomina derivada de f(x) a la derecha del punto x = x0, al siguiente límite, si existe:
 f ( x 0 )  lim  h0

f ( x  h)  f ( x )  l1 h

con l1

Derivada de f(x) con respecto a x, a la izquierda de x0: Se denomina derivada de f(x) a la izquierda del punto x = x0, al siguiente límite, si existe:
 f ( x 0 )  lim  h0

f ( x  h) ...