calculo diferencial

UNIDAD 2. FUNCIONES
2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCIÓN, DOMINIO, CODOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN.
VARIABLE. Es una literal a la que se le pueden asignar, un número ilimitado de valores; las cuales se designan usualmente con las últimas letras del alfabeto las cuales son p, q, r, s, t, u, w, x, y, z. y algunas letras del alfabeto griego.
CONSTANTE. Es una cantidad o literal que tienevalor fijo; se representa con las primera letras del alfabeto son a, b, c, d y e. También los números
Función Es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio un valor único f(x) del segundo conjunto.










DOMINIO. Es el conjunto de objetos a los que la función asigna valores.
RANGO. Es el conjunto de valores obtenidos de la función.DOMINIO NATURAL. Es cuando no se especifica dominio para una función, siempre supondremos que es el mayor conjunto de números reales para los que la regla de la función tenga sentido y de valores de números reales.
RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN. Se define como el subconjunto de “y” formado por todas las imágenes de los números de x.
IMAGEN. Se le denomina así al número y.


Y
X


2.2FUNCIÓN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

FUNCIÓN INYECTIVA. Es cuando a cada elemento del conjunto X (dominio) le corresponde un solo valor distinto en el conjunto Y (imagen) de f tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. . En otras palabras, de todo los pares x, y pertenecen a la función, la “y” no se repiten.
FUNCIÓN SUPRAYECTIVA. Es cuando acada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Es decir; es cuando en la función f(x) =y su recorrido es todo y.

FUNCIÓN BIYECTIVA. Es cuando una función es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente. Es una función f con dominio D y contradominio E, siempre que a≠b en D entonces f(a) ≠ (b) en E.





2.2.1.- FUNCIÓN INYECTIVA.
Nota: inyectiva también se llama "unoa uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.
Otras formas de definirse:
Una función  f: " X à Y", es inyectiva si a cada valor del conjunto "X" (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto "Y "(imagen) de "f", es decir a cada elemento del conjunto "Y" le corresponde un solo valor de "X"  tal que, en el conjunto "X" no puede haber dos o mas elementosque tengan la misma imagen. FUNCIÓN INYECTIVA
Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales  a  es una función inyectiva.
(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros  (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo
f(2) = 4 y
f(-2) = 4)



O dicho de otra manera:
Una función esinyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.
EJEMPLO1 : Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: f(x) = x2 – 2
Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:
 x
 -3
 -2
-1
 0
1
 2
 3
 f(x)
5
 2
 -1
 -2
 -1
 2
 5

Donde su gráfica será:




EJEMPLO 2: Determinar si la siguiente función es o no inyectiva: g(x) = 1 – x3.
Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:
 x
 -3 -2
-1
 0
1
 2
 3
 f(x)
28
 9
 2
 1
 0
 -7
 -26
Donde su gráfica será:



Si hay duda sobre su entendimiento veamos otra forma de expresión matemática y sus ejemplos:
Una función es inyectiva si a cada elemento del rango o imagen se le asocia con uno y solo un elemento del domino.



Ejemplo 1:
Sea A= {1, 2,3} B= {1, 2,3}; 
f: A.B: 
f= {(1,2), (2,1), (3,3)}
Es decir,...