Calculo Diferencial

Calculo Diferencial
Introducción.
El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas; en él se estudia la forma en la que cambian las funciones al cambiar las variables, siendo la derivada elobjeto de estudio de esta asignatura. Es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en elcálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variablesrelacionadas por la ecuación y = f ( x ), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto enmovimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x 0 a x 0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y 0 = f ( x 0 ) a y 0 + k = f ( x 0 + h ), por lo que k = f ( x 0 + h ) -f ( x 0 ). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x 0 a x 0 + h. La gráfica de la función y = f ( x ) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de larecta AB entre los puntos A = ( x 0 , y 0 ) y B = ( x 0 + h, y 0 + k ) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.
Si  h tiende hacia 0, para un x 0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x 0 ; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f ( x ), y la recta AB tiende hacia la tangente ala curva, AT , en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f '( x 0 ) de la función y = f ( x ) en x 0 como ellímite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es...