Calculo diferencial

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD JUAREZ

INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL

SEMESTRE: AGOSTO-DICIEMBRE 2009

Modulo: Cálculo Diferencial

Profesora: Angélica Holguín López

Unidad lV : Temario

ACTIVIDAD:

L.a.a.c.

Integrantes:

César Gutiérrez Lujan

Ilse Anilú Silva López

Andrea González Juárez

Lucero Pedroza Castro

Definición de derivada: El concepto de derivadaes debido a newton y a Leibniz, sus definiciones surge a partir del concepto de límite

[pic]

Son varias las definiciones que tiene el concepto de derivada por lo cual les voy a decir unas que son mas comunes que otras.

Definiciones de derivada:

● Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto(x, f(x)) es la derivada de f en x
●Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico  de la función f en el punto
P = (x, f(x)) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x
● Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante  t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es  la derivada de f en el punto t. El valorabsoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.
● Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el puntox de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x
● Definición: Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierdatengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.
Una forma clásica de construir el concepto de derivada es  la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en más de un punto, como se muestra a continuación:
[pic]
a medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños como el esquema quese muestra a continuación, la línea recta tiende a ser mas semejante a una línea tangente que a una línea recta secante:
[pic]
Analizando esta línea tangente podemos ver que:
 
[pic]
El triángulo rectángulo que se forma puede conducirnos a analizar cual es la ecuación de la pendiente de la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triangulo rectángulo corresponde a la línearecta.   
Como podemos apreciar la ecuación que relaciona la línea recta esta dada por la tangente:
 [pic]
Pero como sabemos para la línea recta dicha relación nos da la pendiente de una línea recta
 [pic]

 Como he dicho esta relación, de recta tangente se logra solo que los intervalos:
[pic] Sean pequeños lo que equivale a decir que se genera el límite cuando
[pic]  o lo que equivale adecir que se genera el limite:
 
[pic]
fue a ese limite al que se le dio el nombre de derivada:
 
[pic]
 
Donde [pic]  es una notación para indicar el operador de derivada.
 
Nota: Como podremos ver [pic]  sin embargo no debe de tomarse como la operación de dividir dx entre dx.

Derivada de funciones trigonométricasLa derivación de las funciones trigonométricas es el procedimiento matemático para encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; osea, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmode cambio del sin(x) en cada punto x.

|Función |Derivada |
|sin(x) |cos(x) |
|cos(x) |− sin(x) |
|tan(x) |sec2(x) |
|cot(x) |− csc2(x) |
|sec(x) |sec(x)tan(x) |
|csc(x) |− csc(x)cot(x) |

Derivada de la función seno
A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

[pic]
Por tanto...