Calculo diferencial

LOS NÚMEROS REALES TEMA 1

IDEAS SOBRE CONJUNTOS
Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (( ) o no pertenece (( ) a un conjunto.

▪ Los conjuntos se pueden definir por:
EXTENSIÓN:
Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
COMPRENSIÓN:
Cuando se da una propiedad quecaracteriza a todos sus elementos de forma única
A = { x ( ( / x < 6 } = { x ( ( / x( 5 }
B = { x ( ( / x es par }
C = { x ( Z / -7 ( x ( 7 }

▪ SÍMBOLO ( (CONTENIDO): El conjunto A está contenido en el conjunto B, cuando todos los elementos de A son también de B y se escribe A ( B

▪ OPERACIONES CON CONJUNTOS:
UNIÓN (U): A U B = { x / x ( A y / o x (B } Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y los que son de B.
Si se tienen los conjuntos A = { x ( ( / x < 6 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 } entonces
A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }

INTERSECCIÓN ( ( ): A ( B = { x / x ( A y x ( B } Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y de B a la vez. En el ejemplo anterior A ( B = { 1,3, 5 }

COMPLEMENTARIO ( A ): El complementario de un conjunto A es el conjunto
A = { x / x ( A }. El complementario del conjunto A dl ejemplo anterior es A = { x ( ( / x > 7 }

DIFERENCIA: A – B = { x / x ( A y x ( B } En el ejemplo anterior A – B = { 2, 4 }

LOS NÚMEROS NATURALES (
Los números naturales son: ( = { 0, 1, 2, 3, ········} es un conjunto infinitoy se representan en una semirecta.

LOS NÚMEROS ENTEROS Z
Los números enteros son: Z= { ·······- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ·······} es un conjunto infinito y se representan en una recta. ( ( Z

LOS NÚMEROS RACIONALES Q
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse en forma de fracción de dos enteros.
[pic]es un conjunto infinito y Z ( Q ya que [pic]
Se representan enuna recta.
▪ Los enteros se representan como enteros.
▪ Los positivos y menores que la unidad: [pic] se representan entre el 0 y el 1 utilizando el teorema de Tales

▪ Los positivos y mayores que la unidad [pic], [pic] es un numero comprendido entre el 2 y el 3. Se dibuja:

▪ Los negativos mayores que - 1: [pic] se dibuja:

▪ Los negativos menores que -1:[pic]. [pic] Es un número comprendido entre - 4 y -3. Se dibuja:

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.
La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de su expresión fraccionaria. y los números que se obtienen son:
▪ Enteros: [pic]
▪ Decimal exacto: [pic]
▪ Decimal infinito periódico.
▪ Periódico puro:[pic][pic]
▪ Periódico mixto: [pic]= 2,96666666·······[pic]

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL
▪ Entero: [pic]
▪ Decimal exacto: [pic] luego se ha de simplificar.
▪ Decimal infinito periódico:
▪ Periódico puro: x = [pic]
100 x = 135,353535··········
x = 1,353535··········
99 x = 135 – 1 99 x = 134 [pic] [pic]
▪Periódico mixto: x = [pic]
1000 x = 1318,181818·········
10 x = 13,181818·········
990 x = 1318 – 13 990 x = 1305 [pic] [pic]

LOS NÚMEROS IRRACIONALES (
Son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Por ejemplo:
[pic]

La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los númerosdecimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son irracionales.
Hay muchos números irracionales, como: [pic]; [pic]; [pic];.....; ( = 3,14159········, e = 2.71828·······
[pic];[pic]

REPRESENTACIÓN DE ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES.
[pic]

[pic]

[pic]

LOS NÚMEROS REALES (
Los números reales son: ( = ( U Q y por lo tanto ( ( ( y Q ( (...