Calculo Diferencial

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL

INTRODUCCIÓN
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominadaanálisis matemático o cálculo. ygjh
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas.Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada enocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.


El Teorema Fundamental del Cálculo
Si $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y $F$ es una primitiva de $f$ en $[a,b]$, entonces $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$
Demostración Teorema Fundamental del Cálculo
TeoremaFundamental del Cálculo, Primera Parte
Si es continua en , la función esta definida por:

es continua en

y derivable en:

y

DEMOSTRACIÓN

Si y están en , entonces:




Ecuación 2

y así, cuando ,

Suponemos que
,
Dado es continua

Usando el teorema del Valor Extremo dice que hay números, y en , tales que y , en donde y son los valores mínimo ymáximo absolutos de en .De acuerdo con la propiedad 8 de Integrales,

es decir,

como , podemos dividir esta desigualdad entre :

Ahora emplearemos la ecuación 2 y uniéndola con la ecuación anterior obtendremos:
Ecuación 3

Ahora hacemos que
.
Entonces:
y

Como y existen entre y , decimos que:

Debido a que f es continua en x, Usando la ecuación 3 y la ley de extremosy medios llegamos a la conclusión de que:
Ecuación 4

Si , podemos decir que es un limite unilateral. Si es diferenciable en , entonces es continua en , modificado para limites unilaterales podemos decir que es continua en
Usando la notación de Leibniz para las derivadas, escribimos el Teorema Fundamental del Calculo, 1era Parte de la forma:
.
Teorema Fundamental del Cálculo,Segunda Parte
Si es continua en , entonces:

en donde es cualquier antiderivada de , esto es, .

Sea
Sabemos que

Si es cualquier antiderivada de en , donde F y g difieren en una constante.
Decimos que :

Ejemplo 1
Determine

SOLUCION
Utilizando la regla de la cadena y el teorema fundamental del cálculo parte 1, donde .


Ejemplo 2
Evalúe la Integral

SOLUCIONLa , es continua en todos los números y que una antiderivada es , entonces utilizando el Teorema Fundamental del Calculo Segunda Parte nos queda:

Podemos Usar la Notación:

De modo que puede escribirse como:

DONDE,
.
Ejemplo 3
Calcular el Area bajo la siguiente parabola .




SOLUCION


Debido al uso del teorema fundamental del cálculo segunda parte concluimos que elArea bajo la parabola es .
Ejemplo 4
Evaluar .
SOLUCION
La integral a evaluar es una abreviación de:

La antiderivada de es


Ejemplo 5
Evaluar

Solución

aplicamos el teorema.



Ejemplo 6

Evaluar
aplicamos el teorema.



Ejemplo 7
Evaluar



Integramos la función de tal manera que nos queda: y lo evaluamos en esos intervalos 0 y 2...