Calculo Diferencial

Cálculo Diferencial
Funciones
Una relación es una regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos.

Esta relación se representa con el siguiente conjunto de pares
ordenados

Definiciones de función:
1. Es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada elemento
del primer conjunto (dominio) le asocia un solo elemento del segundoconjunto (contradominio).
2. Sean y dos conjuntos y una regla que a cada
asigna un único elemento
del conjunto ,
se dice que es una función que va del conjunto al , y se representa de la siguiente forma:
, donde al conjunto se le llama dominio y al contradominio, que también se representa por medio
de un diagrama de flechas:

Notación:
Una función se denota o escribe como
, donde:
:variable independiente
: variable dependiente
: función, regla de asignación o correspondencia
Clasificación:
Las funciones se clasifican en: algebraicas y trascendentales.
Algebraicas
Función
Trascendentales

Trigonométricas
Inversas trigonométricas
Exponenciales
Logarítmicas

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Dominio, contradominio y rango de una función
Dada una función
, se dice que elconjunto es el dominio
y el contradominio
o codominio
de . En términos del plano cartesiano, el dominio corresponde al conjunto formado por los valores posibles
para mientras que el contradominio corresponde a los valores posibles para .
Rango

: valores del contradominio para los cuales

, siendo

la imagen de .

Funciones inyectiva, suprayectiva y biyectiva
Función inyectiva (uno auno): Si

y

Función suprayectiva: Una función
que

es suprayectiva o sobreyectiva si para cada

Función biyectiva: Una función

,

es una función inyectiva si y sólo si
existe

tal

es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Funciones creciente y decreciente
Una función es creciente en un intervalo I, si para cualquier
Una función es decreciente en un intervalo I, si paracualquier

donde
donde

Operaciones con funciones
Sean

y

dos funciones con dominio

y

respectivamente

, con dominio:
, con dominio:
, con dominio:
, con dominio:

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Función composición (Función de funciones)
Sean y funciones cualesquiera que definen una nueva función, la cual recibe el nombre de función
composición de con y se denota con:
condominio:

Función inversa
Sea una función inyectiva con dominio y contradominio ; la función g que satisface
función inversa de y se denota
con dominio y contradominio .

, se llama

Límites
Definición intuitiva
Si al aproximar lo suficientemente cerca de un número (sin ser ) tanto del lado izquierdo como del derecho,
se aproxima a un número , entonces el límite cuando tiende al número es .Esto lo escribimos:

Donde la notación
se lee “ tiende a ”, para decir que: “ tiende a por la izquierda” se utiliza
para decir que: “ tiende a por la derecha” utilizamos
, de tal forma que:
Si

,

entonces

Es decir, si los límites laterales existen y tienden a un mismo número entonces el límite cuando tiende al
número es . Para que el límite exista no se necesita que la función estédefinida para el número , basta que
esté definida para valores muy cercanos.
Ejemplo
Consideramos la función definida por
en .

con dominio

Nos interesa observar el comportamiento de la función
valores de cercanos a 2 pero no iguales a 2.

para

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Veamos las tablas siguientes:
Puede observarse de ambas tablas que,
conforme se aproxima más a 2,
toma, cadavez, valores más próximos a 3.
En este caso se dice que cuando tiende
a , que se simboliza
, entonces
, o sea
tiende a .
Utilizando la notación de límites
escribimos
, que se lee:
el límite de
, cuando tiende a 2, es
igual a 3.

Definición:
Sea

una función definida en una vecindad del punto

.

Se dice que
, si para cada número positivo , por pequeño que este sea, es...