Calculo diferencial

III.2. CÁLCULO DIFERENCIAL.

1. Introducción.
A. El concepto de recta tangente a una curva.
B. Pendiente de una curva en un punto.
C. Recta tangente a una curva.
D. Estudio de un problema clásico: velocidad de un móvil.
2. Tasa de variación media. Cociente incremental.
3. Tasa de variación instantánea.
4. Derivada de una función en un punto.
5. Derivadas laterales.
6.Funciones no derivables.
7. Continuidad y derivabilidad.
8. Interpretación geométrica de la derivada. Recta tangente a una curva en un punto.
9. Función derivada.
A. Derivadas sucesivas de una función.
10. Diferencial de una función en un punto.
11. Ejemplos elementales de funciones derivables.
A. Derivada de la función constante f(x)=k.
B. Derivada de la función identidad f(x)=x.C. Derivada de la función f(x)=x2.
D. Derivada de la función f(x)=x3.
E. Derivada de la función f(x)=1x.
F. Derivada de la función f(x)=Lx.
G. Derivada de la función f(x)=senx.
12. Derivadas y operaciones con funciones.
A. Derivada del producto de un número real por una función.
B. Derivada de la suma y diferencia de funciones.
C. Derivada de las funciones polinómicas.
D.Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena.
E. Derivación logarítmica.
F. Derivada del producto de funciones.
G. Derivada del cociente de funciones.
H. Derivada de la función recí¬proca.
13. Derivadas de las funciones elementales.
A. Derivada de la función potencial f(x)=xn. Raíces.
B. Derivada de la función logarítmica f(x)=logax. Caso particular.
C. Derivada de la funciónexponencial f(x)=ax. Caso particular.
D. Derivada de las funciones trigonométricas.
E. Derivada de las funciones circulares inversas.
14. Cálculo de derivadas.
15. Ejercicios.
16. Problemas.

17. Teorema de Rolle.
A. Aplicaciones.
a. Raíces de una ecuación o función.
b. Aproximación: método de Newton.
18. Teorema del valor medio o de Lagra¬nge.
A. Consecuencias del teoremadel valor medio.
19. Teorema de Cauchy.
20. Regla de L'Hôpital.
A. Ampliación de la regla de L'Hôpital.
B. Resumen práctico.

APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
AL ESTU¬DIO LOCAL DE FUN¬CIONES

21. Crecimiento y decrecimiento de una función.
A. Estudio a partir de la derivada.
22. Máximos y mínimos de una función.
A. Estudio a partir de la derivada.
23. Concavidad yconvexidad de una función.
A. Estudio a partir de la derivada.
24. Puntos de inflexión de una función.
A. Estudio a partir de la derivada.
25. Resolución de problemas que necesitan utilizar la teor¬ía de máximos y mínimos.
A. Problemas concretos.
26. Asíntotas de una función.
A. Tipos de asíntotas.
27. Representación gráfica de funciones.
A. Modelos de ejemplo.
28. Representacióngráfica de funciones a partir de otras conocidas.
A. Modelos de ejemplo.
29. Ejercicios.
30. Problemas.
31. Ejercicios propuestos en las P.A.U..
32. Otros ejercicios.


III.2.CALCULODIFERENCIAL

4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

Derivada de la función f en el punto a, f'(a), es el límite, si existe, dado por:

f¢(a)=limh®0f(a+h)-f(a)h También se designa por (Df)(a),y'(a), etc.

Si el límite existe se dice que la función f es derivable en el punto a.

 Consideremos la función f(x)=x2. Calculemos f'(3):
f¢(3)=limh®0f(3+h)-f(3)h = limh®0(3+h)2-32h = limh®09+6h+h2-9h = limh®06h+h2h = limh®0[6+h]=6.

Haciendo b=a+h  h=b-a con lo que b  a cuando h  0. Sustituyendo estos valores en la fórmula anterior se obtiene otra forma de expresar la derivada:f¢(a)=limb®af(b)-f(a)b-a

Una tercera forma empleada en las ciencias experimentales es: f¢(a)=lim_x®0_y_x

Ejercicios.

1. Para cada una de las funciones siguientes, calcula f'(7).

a) f(x)=2x+5.

b) f(x)=x3.

c) f(x)=+x.

d) f(x)=1x.

2. El 21 de julio de 1985, Alain Prost consiguió en Silverstone la velocidad media de 235'405 km/h. ¿Se puede afirmar que algún momento de la...