Calculo diferenciales

El diferencial está definido en los tratamientos modernos del cálculo diferencial de la siguiente manera.1 El diferencial de una función ƒ(x) de una única variable real x es la función df de dosvariables reales e independientes x y Δx dada por:

Uno, o los dos, argumentos pueden ser suprimidos: ej., se puede ver df(x) o simplemente df. Si y = ƒ(x), el diferencial también puede ser escrito dy.Dado que dx(x, Δx) = Δx es convencional escribir dx = Δx, de manera que la igualdad

se mantiene

Derivadas
[El conjunto de todas las funciones presenta una diversidad tal que es casi imposibledescubrir propiedades generales interesantes que convengan a todas ellas. Puesto que las funciones continuas constituyen una clase restringida, cabría esperar que se hallaran algunos teoremas notriviales para ellas... Pero los resultados más interesantes y más penetrantes acerca de funciones sólo se obtendrán cuando limitemos aún más nuestra atención a funciones que tienen mayor derecho aún arecibir el nombre de 'razonables', con un comportamiento aún más regular que la mayor parte de las funciones continuas. (Spivak, 181-2)]
Incrementos
[El incremento x de una variable x es el aumento odisminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento x a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x0 a x =x0 + x), la función y = f (x) se verá incrementada en y = f (x0 +x) - f (x0) a partir del valor y = f (x0). El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalocomprendido entre x = x0 a x = x0 + x.

La diferencial de una función
[La diferencial de una función surgió históricamente del concepto de 'indivisible'. Este concepto, que desde un punto de vistamoderno nunca estuvo muy claramente definido, era en su tiempo (en el siglo XVIII) fundamental en el análisis matemático. Las ideas referentes a él sufrieron cambios esenciales en el transcurso de...