Calculo en rn

ISSN 1851-1317

Gabriel Larotonda

C URSOS DE GRADO Fasc´culo 3 ı

´ ´ CALCULO Y ANALISIS

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´ CALCULO INTEGRAL ´ CALCULO DIFERENCIAL
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´ CALCULO
Polinomio de Taylor

´ ANALISIS

´ ANALISIS COMPLEJO

´ ANALISIS REAL

´ ANALISIS ´ NUMERICO

´ D EPARTAMENTO DE M ATEM ATICA

FACULTAD DE C IENCIAS EXACTAS Y NATURALES U NIVERSIDAD DE B UENOS A IRES

2010

Cursos de Grado Fasc´culo 3 ı

Comit´ Editorial: e Carlos Cabrelli (Director). Departamento de Matem´ tica, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. a E-mail: cabrelli@dm.uba.ar Guillermo Corti˜ as. Departamento de Matem´ tica, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. n a E-mail: gcorti@dm.uba.ar Claudia Lederman. Departamento de Matem´ tica,FCEyN, Universidad de Buenos Aires. a E-mail: clederma@dm.uba.ar

Auxiliar editorial: Leandro Vendramin. Departamento de Matem´ tica, FCEyN, Universidad de Buenos Aires. a E-mail: lvendramin@dm.uba.ar

ISSN 1851-1317 (Versi´ n Electr´ nica) o o ISSN 1851-1295 (Versi´ n Impresa) o

Derechos reservados © 2010 Departamento de Matem´ tica, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, a Universidad deBuenos Aires. Departamento de Matem´ tica a Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires Ciudad Universitaria - Pabell´ n I o (1428) Ciudad de Buenos Aires Argentina. http://www.dm.uba.ar e-mail: secre@dm.uba.ar tel/fax: (+54-11)-4576-3335

III

Este libro naci´ como unas notas para un curso de An´ lisis, y de a poco se fue conviro a tiendo en algo m´ s que unas notas.Trat´ de conservar un estilo coloquial, sumado al a e rigor de definiciones y teoremas, sin evitar ning´ n tema, a´ n aquellos que suelen tener u u (inmerecida) fama de intratables. Pienso que todos los temas que aqu´ se estudian son ı accesibles para un estudiante que haya hecho un curso de c´ lculo en una variable real, a y otro de algebra lineal, si se abordan de la manera adecuada. En loposible intent´ evi´ e tar el uso de coordenadas, y aunque en muchos casos es necesario volver a ellas para dar un sentido concreto a las ideas geom´ tricas, puede decirse que en general, con e modificaciones menores, las pruebas se adaptan a un contexto m´ s amplio. Esa fue a mi intenci´ n al preparar las clases, y es la intenci´ n de este libro: hacer accesibles o o temas sutiles del an´ lisis y el c´lculo en una y varias variables reales, y vincular estos a a temas de manera intr´nseca con la geometr´a del espacio, sin permitir que el uso de ı ı coordenadas oscurezca esta relaci´ n. o Si bien el libro contiene problemas que surgen naturalmente a lo largo de la presentaci´ n de los temas, estos no suplen una verdadera pr´ ctica donde los conceptos se trabao a jen a partir de ejemplosprogresivamente m´ s sofisticados. En este caso, las pr´ cticas a a de la materia An´ lisis I (dictada por el Departamento de Matem´ tica de la Facultad a a de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires) son el complemento ideal para estas notas, que fueron pensadas con estas pr´ cticas en la mano. Se a puede acceder a las mismas a trav´ s de la p´ gina del Departamento de Matem´ tica,e a a cms.dm.uba.ar.

Agradecimientos: A Sam por su entusiasmo y apoyo constante, a mis hijos por darle color a los grises. A Cristian Conde por hacer de editor y corrector en las sombras, en forma totalmente desinteresada. A Pablo Groisman porque cuando s´ lo hab´a unas notas en borrador, me hizo o ı notar que las notas pod´an tener alg´ n valor para los alumnos. ı u

IV

P REFACIO

Essupersticiosa y vana la costumbre de buscar sentido en los libros, equiparable a buscarlo en los sue˜ os o en las l´neas ca´ ticas de las manos. n ı o J. L. B ORGES

En este libro queremos estudiar problemas que involucren varias variables o inc´ gnitas, todas ellas n´ meo u ros reales. Como aprendimos en cursos de c´ lculo elementales, lo m´ s pr´ ctico es darle nombre a las variaa a a bles y...