Calculo En Una Variable

BASES DE MATEMÁTICAS
APUNTES Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas y de Gestión ESCET Alessandra Gallinari 2003

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Introducción
En este curso se aborda la disciplina de las matemáticas que tradicionalmente se denomina cálculo o análisis matemático en una variable. El concepto de límite, central en esta asignatura, y que abre todo el campo del cálculo diferencial e integral, suponeuna revolución en las matemáticas y en cómo éstas describen la realidad: de la noción de velocidad constante a la de velocidad instantánea, del cálculo de áreas de polígonos al de áreas encerradas por curvas, del cálculo de masas de sólidos de densidad constante al mismo cálculo con densidad variable, de la probabilidad de sucesos con una cantidad nita de opciones al estudio de lasprobabilidades de sucesos donde hay una cantidad innita de posibilidades, de lo discreto a lo continuo... son algunos ejemplos que ilustran lo señalado. La física, la ingeniería, la estadística se fundamentan (no exclusivamente pero sí de una forma crucial) matemáticamente en los conceptos que se presentarán: límite, función, derivación e integración. Aunque el mundo de las telecomunicaciones y la informáticapresenta actualmente un modelo digital, es decir, discreto (este campo de las matemáticas se presenta en la asignatura de Matemática Discreta) no podemos olvidar que la realidad no se adapta completamente a modelos discretos. El área de una circunferencia involucra a ese misterioso número π que no es un número racional y el teorema de Pitágoras nos recuerda que la diagonal de un cuadrado de ladounidad (pensemos en el alerón de un tejado) tampoco es racional. Cuando nos circunscribimos al mundo de los números racionales lo hacemos para perder exactitud (es imposible la cuadratura del círculo, nunca mejor dicho) y eso puede ser trágicamente relevante. Además, el análisis matemático presenta interesantes instrumentos de descripción que son fundamentales en otros campos: por ejemplo elestudio sistemático de las funciones reales es usado para el estudio de la eciencia de los algoritmos en lo que se denomina complejidad y esto tiene fuertes consecuencias en seguridad informática, gestión de proyectos... .Finalmente la industria y la economía (también la biología, la química, la medicina...) necesitan modelos que describan ciertos procesos (evoluciones de mercado, procesos defabricación, poblaciones...) y de los que, a priori, se puedan establecer predicciones, se puedan optimizar gastos y recursos (u otras variables), se tomen decisiones adecuadas y seguras... . Normalmente estos estudios no involucran a una sola variable (pensemos en una industria: tiempo, energía, recursos humanos...) y por tanto se necesita también desarrollar un análisis matemático de

3 variasvariables que es lo que se enseñará en la asignatura de Cálculo. Con frecuencia, los problemas matemáticos que se presentan en la ciencia o la tecnología no se pueden resolver con métodos analíticos exactos. No es posible calcular el área de una región si no conocemos una primitiva de la integral que la representa. Así mismo, para calcular el máximo de una función es, en general, necesario podercalcular exactamente las raíces de su función derivada. En un modelo matemático que utiliza ecuaciones diferenciales tenemos que poder calcular las soluciones exactas de estas ecuaciones. Hay varios teoremas que garantizan la existencia de soluciones a estos problemas sin proponer un método efectivo para su cálculo exacto. En estos casos se utilizan métodos numéricos, es decir, algoritmos que permitenhallar una solución aproximada. Estos métodos se basan, en general, en la discretización del problema y métodos iterativos de aproximación. Newton, Leibnitz, Cauchy, Euler, Gauss... son algunos de los insignes matemáticos que han desarrollado una de las obras intelectuales fundamentales para la ciencia y la tecnología actuales. El contenido de esta publicación es un guión de la asignatura de Bases...