Calculo en varias variables

Facultad de Ciencias F´ ısicas y Matem´ticas a Departamento de Ingenier´ Civil Matem´tica ıa a Universidad de Chile

Apuntes del curso

C´lculo en Varias Variables (MA22A) a

Profesores: Rafael Correa - Pedro Gajardo Auxiliares (soluciones): Rodolfo Gainza - Gonzalo S´nchez a

2005

´ Indice general

1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Interior, adherencia y frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Sucesiones en un e.v.n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 5 8 91.4.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. FUNCIONES DEFINIDAS EN UN E.V.N. E CON VALORESEN UN E.V.N. F 28 2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 o 2.2. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

ii

2.3. L´ ımite de funciones y caracterizaci´n de la continuidad . . . . . . . . . . . 32 o 2.3.1. Caracterizaci´n de la continuidad y el l´ o ımite de una funci´n medio ante sucesiones . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4. Funciones continuas con valores en Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5. Funciones continuas definidas en un compacto . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6. Continuidad uniforme y Lipschitzianidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.7. El e.v.n. de las funciones lineales continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.8. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3. ESPACIOS DE FUNCIONES 46

3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 o 3.2. Espacio vectorial normado de las funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.Convergencia uniforme y convergencia simple de una sucesi´n de funciones o 48

3.4. Continuidad del l´ ımite de una sucesi´n de funciones continuas . . . . . . . 49 o 3.5. Cuatro contraejemplos interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.6. Teorema de Weierstrass-Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 56 3.8. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4. ESPACIOS DE HILBERT 61

4.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 o 4.2. Producto interno en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3. Proyecci´n de un punto sobre un conjunto en un espacio de Hilbert. . . . 64 o 4.4. Caracterizaci´n de la proyecci´n sobre un conjunto convexo . . . . . . . . . 66 o o 4.5. Continuidad de la proyecci´n sobre un conjunto convexo . . . . . . . . . . 69 o

4.6. Espacios suplementarios y proyecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 o 4.7. Tres Teoremas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.8. Ejercicios . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5. DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIAL DE FUNCIONES DEFINIDAS EN UN E.V.N. E CON VALORES EN UN E.V.N. F 74 5.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 o 5.2. Derivada parcial con respecto a un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.3. Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . ....