calculo examen univalle ag

C´lculo III, Cuestionario de repaso
a
Tiempo de examen: 60 minutos. Resalte y justifique todas sus respuestas. Durante el examen no est´
a
permitido usar textos, apuntes, calculadoras o tel´fonoscelulares.
e

1. Dados los puntos A(1, 2, −1), B (1, 0, 2) y C (3, 1, 0)
(a) halle unas ecuaciones param´tricas para la recta l que pasa por A en la direcci´n del vector
e
o
−→
−
BC y decidasi el punto (3, 3, 1) pertenece o no a esta recta.
(b) halle la ecuaci´n (cartesiana) del plano M que pasa por el punto B y es ortogonal al vector
o
−→
−
BC . Determine un punto del planodiferente de B .
(c) halle el punto donde se intersecan la recta l y el plano M.
2. Se escoge un sistema coordenadao en el cual el plano xy corresponde al plano del suelo y el eje z
apunta hacia arriba.Las distancias se miden en metros y el tiempo en segundos. Teniendo como
referencia este sistema coordenado una pelota es lanzada desde el punto (1, 0, 0) con velocidad
→ = 2 ˆ+10 k. La acci´ncombianda de la gravedad y el giro producen en la pelota una aceleraci´n
−
ˆ
v
j
o
o
→ = ˆ − 10 k.
−
ˆ
igual a a
i
(a) determine el vector posici´n de la pelota como funci´n del tiempo
o
o(b) determine el punto donde la pelota cae al piso y la magnitud de la velocidad de la pelota
en ese instante.
3. Dada la curva en coordenadas polares r = 2 sen θ, d´ unas ecuaciones param´tricas paraesta
e
e
curva, tomando como par´metro al angulo polar θ. Obtenga y gr´fique los puntos sobre la curva
a
´
a
π
correspondientes a θ = 0, π , π , π y 32 . Trace un bosquejo aproximado de lacurva.
42
−
4. El vector →(t) = (sen t, 2t, cos t), t ≥ 0 representa el vector posici´n en el tiempo t de una
r
o
part´
ıcula que se mueve en el espacio.
(a) bosqueje la curva identificando elpunto inicial (t = 0) y la direcci´n en la cual se recorre
o
la curva.
(b) muestre que el punto (1, π, 0) pertenece a la trayectoria y encuentre el vector tangenete
unitario, el vector normal...