Calculo fracciones parciales


FRACCIONES PARCIALES
El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o unatransformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.
Definimos fracciones parciales a la funciónF(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales porfracciones parciales es de la forma  donde:
P(x) y Q(x) son polinómios
El grado de P(x) es menor que el de Q(x)


Caso 1 (FRACCIONES LINEALES DISTINTOS )
En este caso tenemos que los factores deldenominador son todos factores lineales distintos.
Q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)(a3x + b3)...(anx + bn) a y b son constantes, proponer:
 (1)
Encontrar A1,A2,An
Ejemplo Caso I
Sea  .



Primerofactorizamos el denominador nos quedaría 
Tenemos entonces dos factores lineales no repetidos usamos el caso I para escribir



Caso 2 (GACTORES LINEALES REPETIDOS)

Suponga que el primerfactor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple  en (1), se usaría
 (2)

Ejemplo caso II
Si tenemos  en el denominador Q(x) = (x + 1)3(x − 1)(x − 2) podemos ver que tenemos que tenemos los factores lineales (x − 3)3, x − 1 y x − 2
Para (x − 1) y (x − 2) usamos el caso I entonces escribimos Para (x + 1)3 usamos el caso II entonces escribimos 
Ahora juntamos las fracciones anteriores y obtenemos, 





CASO 4 (FACTOR CUADRADO IREDUCIBLE REPETIDO)
Si Q(x) tiene un factor de laforma (ax2 + bx + c)r, donde b2 − 4ac < 0, luego en lugar de la única fracción parcial , escribimos la suma

Ejemplo Caso IV
Sea  usamos el Caso II y el Caso IV y nos queda



CASO 5 (FRACCION...