Calculo harto

Métodos de integración

CONTENIDO
1. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 3
1.1. Productos de senos y/o cósenos de argumentos diferentes 3
1.1.1. CASO 1: integral de la forma siendo mn 3
1.1.2. CASO 2: integral de la forma siendo mn 4
1.1.3. CASO 3: integral de la forma siendo mn 5
Ejercicios 1.1 5
Respuesta de los ejercicios 1.1 5
1.2. Potencias naturales de senos ocósenos 6
CASO 1: n es impar en la integral ó en la integral 6
CASO 2: n es par en la integral ó en la integral 8
1.3. Producto de potencias naturales de senos y cósenos 9
CASO 1: m ó n es un número impar en la integral 9
CASO 2: m y n son números pares en la integral 11
Ejercicios 1.3 12
Respuesta de los ejercicios 1.3 12
1.4. Potencias naturales de tangentes o cotangentes 13Ejercicios 1.4 14
Respuesta de los ejercicios 1.4 14
1.5. Potencias pares de secantes o cosecantes 15
1.6. Potencias impares de secantes o cosecantes 17
1.7. Producto de potencias naturales de secantes y tangentes o cosecantes y cotangentes 19
CASO 1: m es un número par en la integral ó en la integral 19
CASO 2: m y n son números impares en la integral ó en la integral 22
CASO3: m es un número impar y n es un número par en la integral ó en la integral 24
Ejercicios 1.7 25
Respuestas de los ejercicios 1.7 25
2. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 26
Ejercicios 2.1 31
Respuesta de los Ejercicios 2.1 32
3. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 33
3.1. Descomposición en Fracciones Parciales. 33
3.2. Integración por el método de las fracciones parciales37
Ejercicios 3.2 41
Respuestas de los ejercicios 3.2 41



1. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
A continuación estudiaremos las reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonométricas. Estas reglas posteriormente se utilizarán en el método de sustitución trigonométrica.
Antes de iniciar el estudio de las reglas de integración de funciones trigonométricas, es importante teneren cuenta las siguientes integrales trigonométricas inmediatas que fueron estudiadas en capítulos anteriores:










1.1. Productos de senos y/o cósenos de argumentos diferentes
Cuando en el integrando aparece un producto de senos y/o cósenos de argumentos diferentes, se debe recurrir a las identidades trigonométricas para reducir la integral a una integral inmediata.1.1.1. CASO 1: integral de la forma siendo mn
Cuando el integrando es: cos(mx)cos(nx), se recurre a la identidad trigonométrica:
cosA.cosB = ½ [cos(A+B) + cos(A – B)]
para reducir la integral a una integral inmediata de la siguiente forma:

Ejemplos:
a)

b)

1.1.2. CASO 2: integral de la forma siendo mn
Cuando el integrando es: cos(mx)sen(nx), se recurre a la identidadtrigonométrica:
cosA.senB = ½ [sen(A+B) + sen(B – A)]
para reducir la integral a una integral inmediata de la siguiente forma:

Ejemplos:
a)


b)

1.1.3. CASO 3: integral de la forma siendo mn
Cuando el integrando es: sen(mx)sen(nx), se recurre a la identidad trigonométrica:
senA.senB = ½ [cos(A – B) – cos(B + A)]
para reducir la integral a una integral inmediata de la siguienteforma:

Ejemplos:
a)

b)

Ejercicios 1.1
Calcular las siguientes integrales:

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Respuesta de los ejercicios 1.1

1)
2)
3) sen(0,5x) – senx +C
4)
5) 0,5
6) 0
7) 0
1.2. Potencias naturales de senos o cósenos
Para resolver integrales de la forma:
ó (donde n es un número natural)
Debemos considerar dos casosseparados: que n sea un número impar ó que n sea un número par.
CASO 1: n es impar en la integral ó en la integral
En el caso de que n sea un número natural impar, transformaremos el integrando de la siguiente forma para reducir la integral a una integral inmediata:
a) Si el integrando es sennx dx, el procedimiento a seguir es:
sennx dx = senn-1x senx dx
Teniendo en cuenta que si n es...