CALCULO II

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “SIMÓN RODRÍGUEZ”
NÚCLEO PALO VERDE
Vice-Rectorado Académico
Licenciatura en Educación Mención Docencia en Matemática
Curso: Cálculo II – Código 31235


Impreso Instruccional Nº 3


Contenidos: Pendiente de una curva - Concepto de derivada - Reglas dederivación - Derivación de una función compuesta. Regla de la cadena - Derivadas implícitas -Derivadas paramétricas - Derivadas sucesivas - Relación entre la continuidad y derivabilidad - Derivada de orden superior.

Introducción

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionadospor el teorema fundamental del cálculo: “la derivación e integración de una función son operaciones inversas”. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cuál separa las matemáticas previas, como álgebra, trigonometría o geometría analítica, del cálculo. Para muchos es quizás la derivada el concepto más importante del cálculo infinitesimal.
Laderivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se emplea en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales como la economía y la sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica en dos dimensiones de una función“f”, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficosde funciones, tales como concavidad o convexidad.

Incremento de una variable

El incremento es la diferencia, casi siempre pequeña, pero finita, entre dos valores sucesivos de una variable. Se denota con la letra griega delta . Los dos valores que constituyen la base de un incremento son por lo general magnitudes cercanas.

Ejemplo: Si en la función , se consideran dos valoressucesivos de x, que pueden ser 4 y 6 el incremento correspondiente a y es 2, es decir: .
Asimismo, cuando la diferencia es aún más pequeña, se acerca a cero como límite, se denomina diferencial, o sea, es una diferencia infinitesimal. Se denota por (d).

Nota: El diferencial se acerca a un valor, como el que era, con una mayor proximidad y precisión que la que puede lograr un incremento. Enconsecuencia hay muchos casos, sobre todo cuando las funciones son no lineales, en los que se alcanza una mayor precisión aplicando los métodos diferenciales.

Pendiente de una curva

Es la relación de las diferencias correspondientes de las variables x y y; se determina, para un punto específico de una curva , seleccionando dos puntos adicionales equidistantes a dicho punto. Este método esperfectamente satisfactorio cuando la gráfica es una línea recta, ya que tendrá siempre el mismo valor y será una relación entre los incrementos  y .
En el caso de algún tipo de curva se deberá trazar una recta tangente en el punto, y las componentes x y y se determinan en término de la relación entre la tangente y los valores x y y. Para que los resultados sean exactos, la tangente debetocar la curva en un solo punto, en cuyo caso los incrementos se han reducido a cero y se debe emplear diferenciales y . Entonces se tiene: 

Derivada de una función
La derivada es la relación de dos diferenciales asociados entre sí, de allí que a veces se le llama diferenciación. Cuando se compone de dos infinitesimales, denota el límite de la relación del cambio en una variable...