Calculo ii

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Transformaciones geom´tricas e


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´ Indice

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Transformaciones Una transformaci´n T , es una funci´n biyectiva del plano en si mismo. o o

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Traslaciones, definici´n 1 o Consideremos a un n´mero complejo (a = a1 + ia2 := (a1 , a2 )). Definimos Ta la u traslaci´n en la direcci´n dea como Ta (z) = z + a. o o Notemos que el dominio de definici´n de Ta son los n´meros complejos y que Ta es o u una transformaci´n. Lo anterior lo resumimos en el siguiente teorema: o Teorema Sean a un n´mero complejo, entonces u Ta es una funci´n biyectiva. o T0 = Id, Ta ◦ Tb = Tb ◦ Ta = Ta+b Para todo z, w ∈ C,tenemos que |Ta (z) − Ta (w)| = |z − w| ¿C´mo le har´ para extender la definici´nanterior a un plano cualquiera? o ıas o ¿C´mo le har´ para extender la definici´n anterior al espacio R3 ? o ıas o

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Traslaci´n, definici´n 2 o o Sea AB un segmento rectil´ ıneo dirigido del plano. Por traslaci´n T (AB) queremos o decir la transformaci´n de S sobre s´ mismo que transporta cada punto P del plano al o ı punto P del plano tal que P P sea igual y paralelo a AB. Elsegmento dirigido AB se llama vector de traslaci´n. o ¿ Qu´ diferencias hay con la primera definici´n? e o ¿ Qu´ ventajas presenta la definici´n anterior? e o ¿ Qu´ desventajas? e

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Ejercicios
1

Demostrar que las traslaci´n env´ rectas en rectas y circunferencias a o ıa circunferencias. Traslade la ecuaci´n y 2 = 4px en la direcci´n de a = 1 + i. o o Usando la definici´n2 demuestre que la composici´n de dos traslacciones es una o o traslaci´n. o Traslade la ecuaci´n y 2 − x2 = 1 en la direcci´n a = 1 + 2i o o ¿C´mo demostrar´ que la traslaci´n de una c´nica es una c´nica? o ıas o o o

2 3

4 5

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Rotaciones, Definici´n 1 o Sea θ ∈ R, definimos la rotaci´n con centro en 0 y ´ngulo θ como o a Rθ (z) = eiθ z Teorema Las siguientesafirmaciones son verdaderas: La composici´n de dos rotaciones es una rotaci´n: o o Rθ1 ◦ Rθ2 = Rθ1 +θ2 = Rθ2 ◦ Rθ1 Si θ = 0, entonces Rθ = Id Las rotaciones son transformaciones. R−1 = Rθ . θ Para toda z, w en C, tenemos que |Rθ (z) − Rθ (w)| = |z − w|.

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Rotaciones parte II Definici´n 2. Sea z0 un punto en el plano complejo C. Definimos la rotaci´n Rz0 ,θ o o como Rz0 ,θ (z) = eiθ z+ z0 Definici´n 3. Sea O un punto fijo del plano y θ un determinado ´ngulo con sentido. o a Por la rotaci´n R(O, θ) indicamos la transformaci´n de plano S sobre s´ mismo que o o ı lleva cada punto del plano P del plano S, al punto P del plano S, tal que OP = OP o a o y ∠P OP = θ. El punto O se llama centro de la rotaci´n y θ es el ´ngulo de rotaci´n.

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Ejercicios
1 2Discuta la diferencias o similitudes de las definiciones 1, 2 y 3. Muestre mediante un ejemplo que no necesariamente la composici´n de dos o rotaciones no es un rotaci´n. o Establezca un teorema an´logo al de esta secci´n para la definici´n 2 de rotaci´n. a o o o Usando la definici´n 3, muestre que una rotaci´n env´ circunferencias en o o ıa circunferencias. Si z = x + iy, demuestre que la componentescartesianas de Rθ (z) = eiθ z son x = xcos(θ) − ysen(θ), y = xsen(θ) + ycos(θ)

3 4

5

6

¿C´mo mostrar´ que las rotaciones mandan c´nicas en c´nicas? o ıas o o

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Reflexi´n o Sea una recta fija del plano. Por la reflexi´n R( ) en la recta l se designa la o transformaci´n en S sobre s´ mismo que lleva cada punto P del plano al punto P del o ı mismo, tal que sea lamediatriz de P P . La recta se llama eje de reflexi´n. o
1

Describa analiticamente las siguientes transformaciones:
a) b) c) d) R(y = 0) R(x = 0) R(y = x) R(ax + by + c = 0)

2

Demuestra que R( ) ◦ R( ) = Id. ¿Porqu´ esto muestra que R( ) es una e transformaci´n? o Muestra mediante un ejemplo que la composici´n de dos reflexiones no o necesariamente es una reflexi´n. o Demuestra que la...