Calculo Ii

Calculo II
Sumatorias, integrales definidas, cálculo
de áreas, métodos numéricos,
sumatorias e integrales dobles,
Interpolación.

Universidad Nacional Del Callao

Calculo II

2012

Índice
1) Sumatorias
 Definición
 Propiedades
 Fórmulas de sumatoria
 Ejemplo
2) Calculo de la integral definida mediante sumatorias
 Definición
 Propiedades de la integral definida
Ejemplos

2

3) Calculo de Áreas por sumatorias
 Introducción
 Partición de un intervalo
 Refinamiento de una partición
 Área de una región plana por sumatorias de rectángulos

17

4) Métodos numéricos para calcular integrales definidas
 Método del rectángulo
 Método del trapecio
 Método de Simpson
 Integración por series de Taylor

35
35
37
40
51

5) Sumatorias dobles
Definición
 Integral doble sobre un rectángulo
 Integral doble como volumen
 Propiedades
 Ejercicios

58

6) Calculo de integrales dobles por sumatorias dobles
 Definición
 Integral doble sobre un rectángulo
 Integral doble como volumen
 Propiedades
 Ejercicios

63

7) Calculo de integrales por interpolación
 Introducción
 Interpolación de Lagrange
 Interpolaciónde Hermite
 Interpolación de trazadores cúbicos

72

1

9

Calculo II

2012

SUMATORIAS
1.-DEFINICION
Consideremos “m” y “n” dos números naturales tal que m ≤ n, y “f” una función definida para cada
n

i Є N donde m ≤ i ≤ n, luego la notación

 f  i  , nos representa la suma de los términos; f(m);
i m

f(m+1); f(m+2); …; f(n); es decir:
n

 f  i   f  m   f  m 1  f  m  2  ...  f  n 
i m

Donde “i” es el índice o variable, “m” es el límite inferior y “n” el límite superior.
Particularmente: a la suma de los n números a1, a2, …, an , representaremos por la notación:
n

a
i 1

i

 a1  a2  ...  an

n

En la sumatoria

 f  i  , existen (n-m+1) términos los cuales son f(m), f(m+1), f(m+2), …, f(m+(ni m

m))2.-PROPIEDADES
Siendo f,g funciones definidas  i Є Z, k contante.
n

 k  kn

a)

i 1

DEMOSTRACION:
n

 k  k  k  ...  k (" n " veces)  kn
i 1

n

 k  (n  m  1)k

b)

i m

DEMOSTRACION:
n

 k  k  k  ...  k (" n  m  1" veces)  (n  m  1)k
i 1

n

n

i 1

i 1

 kf  i   k  f  i 

c)

2

Calculo II
DEMOSTRACION:
n

n

 k fi   kf 1  kf  2  ...  kf  n   k ( f 1  f  2  ... f  n )  k  f i 
i 1

i 1

n

n

n

i 1

i 1

i 1

 ( f i   g i )   f i    g i 

d)

DEMOSTRACION:
n

 ( f  i   g i )  ( f 1  g 1)  ( f  2   g  2 )...  ( f  n   g  n )
i 1

n

n

i 1

i 1

 ( f 1  f  2   ... f  n )  ( g 1  g  2  ...g  n )   f  i    g  i 
b

bc

i a

i a c

 f i    f i  c 

e)

DEMOSTRACION:
b

 f  i   f  a   f  a  1  f  a  2   ...  f b 
i a

 f  (a  c)  c   f  (a  c  1)  c   f  (a  c  2)  c   ...  f  (b  c)  c 
bc

 f i  c 



i a c

b

b c

i a

i a c

 f i    f i  c 

f)DEMOSTRACION:
b

 f  i   f  a   f  a  1  f  a  2   ...  f b 
i a

 f  (a  c)  c   f  (a  c  1)  c   f  (a  c  2)  c   ...  f  (b  c)  c 
b c



 f i  c 

i a c

n

 ( f  i   f  i  1)  f  n   f  0 1ra Regla Telescópica

g)

i 1

3

2012

Calculo II

2012

DEMOSTRACION:
n

n

n

i 1

i 1

i 1

 ( f i   f  i  1)   f i    f i  1
 ( f 1  f  2   ...  f  n  1  f  n )  ( f  0   f 1  ...  f  n  2   f  n  1)
 f  n   f  0
n

 ( f i   f i  1)  f  n   f  k  1 1ra Regla Telescópica Generalizada

h)

i k

DEMOSTRACION:
n

n

n

i k

i k

i k

 ( f  i   f  i  1)   f  i    f  i  1
 ( f  k  ...