Calculo II

C´lculo para la ingenier´
a
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Tomo II
Salvador Vera
9 de enero de 2005

ii
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

´
Indice general
7. Series Num´ricas
e
1
7.1. El signo del sumatorio: Sigma Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
7.1.1. Propiedades del sumatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
7.2. Series num´ricas. Definiciones . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
e
3
7.2.1. Convergencia y suma de la serie aplicando la definici´n . . .
o
6
7.2.2. Dos series notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
7.2.3. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7.2.4. La serie geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
e
7.2.5. Convergencia y suma de la serie geom´trica . . .. . . . . . . 13
e
7.2.6. Agrupaci´n y descomposici´n de t´rminos . . . . . . . . . . . 15
o
o
e
7.3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.3.1. Series de t´rminos positivos (no negativos) . . . . . . . . . . 17
e
7.3.2. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3.3. Series de t´rminos de signo cualesquiera . . . .. . . . . . . . 37
e
7.3.4. Aplicaci´n del criterio de D’ Alembert al c´lculo de l´
o
a
ımite de sucesiones 40
7.4. Suma de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.4.1. Aplicando la definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
o
7.4.2. Series geom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
e
7.4.3. Series aritm´tico-geom´tricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
e
e
7.4.4. Series hipergeom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
e
7.4.5. Series telesc´picas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
o
7.4.6. Descomposici´n en fracciones simples . . . . . . . . . . . . . 51
o
7.4.7. Series que se obtienen a partir del n´mero e . . . . . . . . . . 53
u
Ejercicios y problemas del Cap´ıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8. Series funcionales. Series de Fourier
87
8.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.2. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.3. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 89
8.1.4. Propiedades de las series uniformemente convergentes . . . . 89
8.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2.1. Desarrollo de funciones en series de potencias . . . . . . . . . 96
8.2.2. Desarrollo de funciones en series de potencias a partir de otros desarrollos conocidos100
8.2.3. Derivaci´n e integraci´n de las series depotencias . . . . . . 103
o
o
8.2.4. Aplicaciones de las series de potencias para el c´lculo de integrales definidas110
a
8.3. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3.1. Funciones peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
o

iii

´
INDICE GENERAL

iv
8.3.2.
8.3.3.
8.3.4.
Ejercicios y

Serie de Fourier de periodo 2π . . . .. . . . . . . . . . . . . 114
Condiciones suficientes de la desarrollabilidad de una funci´n en serie de Fourier117
o
Desarrollo de las funciones pares e impares en series de Fourier122
problemas del Cap´
ıtulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos

161

Bibliograf´
ıa

163

´
Indice alfab´tico
e

164

Copyright cby Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

Cap´
ıtulo 7

Series Num´ricas
e
7.1.

El signo del sumatorio: Sigma Σ

La suma de n t´rminos consecutivos se representa de la siguiente forma:
e
a1 + a2 + · · · + an =

n

L´
ımite superior

ai

L´
ımite inferior
´
Indice

i=1

El ´
ındice del sumatorio puede ser cualquier letra, normalmente se utilizan
las letras i, j,...