Calculo III Apuntes De Clases 1

Universidad Católica del Norte, Departamento de Matemáticas

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Contents
1 GEOMETRÍA DEL ESPACIO.1.1 Introducción . . . . . . . . . .
1.2 Rectas y Planos en el Espacio .
1.3 Super…cies en el Espacio . . . .
1.4 Super…cies cilíndricas. . . . . .
1.5 Super…cies cuádricas. . . . . . .

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2 Funciones vectoriales en R3
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2.0.1 Vector velocidad y aceleración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.0.2 Vectores Tangente y Normal Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
3 Funciones de varias variables.
3.1 De…niciones básicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Límite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Derivadas Parciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Diferenciación y aproximación lineal. . . . . . . .
3.4 Derivada direccional, Vector Gradiente y Plano Tangente.
3.5 Regla de la cadena y Derivadas Implícitas.. . . . . . . .
3.6 Máximos y Mínimos de funciones de dos variables. . . . .
4 Integración Múltiple.
4.1 Integración Doble . . . . . . .
4.1.1 Coordenadas polares. .
4.2 Integrales Triples . . . . . . .
4.2.1 Teorema del cambio de

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
variables.

5 Análisis Vectorial
5.1 Campos Vectoriales. . . . . . . . . .
5.2 Integrales de Línea . . . . . . . . . .
5.2.1Independencia de trayectoria.
5.3 Teorema de Green . . . . . . . . . .
5.4 Integrales de Super…cie. . . . . . . .
5.5 Teoremas de Stokes y la Divergencia.

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Universidad Católica del Norte, Departamento de Matemáticas

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GEOMETRÍA DEL ESPACIO.-

1.1

Introducción

En los cursos anteriores hemos trabajado con elementos del plano R2 , donde un punto
está determinado por el par ordenado (x; y), donde y se puede interpretar como y = f (x) una
función de la variablex. Un sistema similar de dos coordenadas es el que se construye sobre
el círculo, las coordenadas polares: (r; ), donde r es la distancia a un punto …jo, llamado el
polo y es el ángulo que forma el segmento de recta que une el punto con el polo y una recta
…ja, "coincidente con el eje X de las coordenadas rectangulares", que llamamos el eje a 0o . En
ese sistema de coordenadas de…nimos funciones,estudiamos su continuidad, diferenciabilidad
e integrabilidad, siendo capaces de trazar grá…cas de funciones, las rectas tangentes y calcular
áreas de regiones acotadas por dos o más curvas.
En este curso, extenderemos todas estas nociones al espacio R3 , donde un punto es determinado por una tríada de números, (x; y; z). Así como el par ordenado (x; y) indicaba la distancia
entre el punto y losejes coordenados, en el caso de la tríada (x; y; z), también representará las
distancias, pero no a los ejes coordenados sino a "Planos Coordenados".
El espacio R3 , queda determinado por tres rectas ortogonales, los llamados ejes X; Y y
Z, los que tomados en pares determinan planos coordenados: los ejes X e Y , determinan el
plano coordenado XY , que es el plano R2 , en el que hasta ahora hemos...