Calculo III evaluacion resuelta

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
HPV/GAJ. 19/10/2000
Certamen 1
Cálculo III. 521227

1.

 x3

Sea f ( x, y ) =  x 2 − y
 x

a)
b)
c)
d)

, si y ≠ x

2, si y = x 2

Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de f en (0,0 ) .
Estudiar la diferenciabilidad y continuidad de f en el punto (1,2 ) .
Siendo S el gráfico de f y P0 = (1,2,−1) ∈ Sencontrar la ecuación del plano
tangente a S en P0 y un vector normal a S en P0 .
¿En qué dirección crece más rápidamente f en el punto (1,2 ) y cuál es esa tasa
de crecimiento?
(40 puntos)

2.

x
Dada la función z ( x, y ) = f ( xy) + xy g   , definida para x > 0 , y > 0 ; donde f y
 y
 
g son funciones con segunda derivada continua; determinar si z satisface la ecuación
diferencialparcial
x2

3.

∂2z
∂2z
− y2 2 = 0
∂x 2
∂y

(25 puntos)

2
Considerar la función f ( x, y, z ) = x 2 z + y 2 z + z3 − 4x − 4 y− 10 z + 1 indica la
3
temperatura en cada punto delespacio.

a)
b)

Determinar y clasificar los puntos críticos de f .
Encontrar en punto de mayor temperatura sobre el disco
D = ( x, y , z ) ∈ IR 3 : z = 1 ∧ x 2 + y 2 ≤ 9 .

{

Tiempo: 100minutos

}

(35 puntos)
1/4

Idea de la solución:
1.
a)

( x, y ) ∈

{

}

T = (x , y ) ∈ IR 2 : y = x 2 − x 3 ⇒

lím

( x , y )→ (0, 0)

f ( x, y ) = 1 ≠ f (0,0) = 0

f no escontinua en (0,0 ) . ∴ f no es diferenciable en (0,0 ) .
4
2
∂f
( x, y ) = x 2− 3x 2y
∂x
x −y
3
∂f
( x, y ) = 2 x 2
∂y
x −y

(

)

(

b)

)




2
2
 funciones continuas∀( x, y ) ∈ A = ( x, y ) ∈ IR : y ≠ x .




{

}

f es de clase C 1 ∀( x, y ) ∈ A . Como P = (1,2) ∈ A entonces f es

diferenciable y continua en (1,2 ) .
c) La función es diferenciable enel punto P , la ecuación del plano tangente a S
en P0 está dada por z = f (1, 2) + ∇f (1,1)( x − 1, y − 2) = −1 − 5( x − 1) + y − 2 ó
5x − y + z = 2
→

Un vector normal a S en P0 es n =...