Calculo iii

CÁLCULO SUPERIOR FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Curso del Instituto Tecnológico de Costa Rica

Walter Mora F., Geovanni Figueroa M.
Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica. www.cidse.itcr.ac.cr

Capítulo 2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, SUPERFICIES Y SÓLIDOS.

2.1 COORDENADAS TRIDIMENSIONALES Un punto en el espacio queda determinado dando su localización con respectoa tres ejes de coordenadas perpendiculares entre sí que pasan por el origen O . Siempre trazaremos los ejes x, y, z como se muestra en la figura 2.2, con flechas que indican la dirección positiva a lo largo de cada eje. Con esta configuración de ejes nuestro sistema de coordenadas es un sistema ’derecho’; si usted dobla los dedos de su mano derecha en la dirección de un giro de 90o desde el eje xpositivo hasta el eje y positivo, entonces su pulgar apunta en la dirección del eje z positivo. Si se intercambian los ejes x e y , entonces el sistema de coordenadas sería ’izquierdo’. Estos dos sistemas de coordenadas son diferentes, en el sentido de que es imposible hacerlos coincidir por medio de rotaciones y traslaciones.
Z 2 1 1 2 X 1 2 Y 2 1 1 2 Y

Z

1

2

X

Figura 2.1 Ejes x, y,z Cálculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M. Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

1

2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES, SUPERFICIES Y SÓLIDOS.

Los tres ejes coordenados considerados por pares determinan los tres planos coordenados: • El plano (horizontal) xy , donde z = 0 • El plano (vertical) yz , donde x = 0 • Elplano (vertical) xz , donde y = 0
Plano xy

Z 2 1 2 X 1 1 2 Y X 1

Z 2 1 2
Plano xz

Z 2 1 2 X 1 1 2 Y
Plano yz

1

2

Y

Figura 2.2 Ejes x, y, z

Figura 2.3 Primer octante.

Z

(a,b,c)
El punto P en el espacio tiene las coordenadas rectangulares (a, b, c) si
X

a

c

b

Y

• a es su distancia (con signo) al plano yz • b es su distancia (con signo) al plano xz •c es su distancia (con signo) al plano xy
Figura 2.4 Punto P = (a, b, c) en el primer octante

En este caso, podemos describir la posición del punto P simplemente escribiendo P = (a, b, c) . Existe una correspondencia biunívoca natural entre las ternas ordenadas (x, y, z)

FUNCIONES DE DOS VARIABLES

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de números reales y los puntos P del espacio; esta correspondencia es un sistema decoordenadas rectangulares en el espacio. En la figura 2.4 se muestra un punto P en el primer octante, la octava parte del espacio en donde las tres coordenadas rectangulares son positivas.

2.2 FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Muchas magnitudes que nos resultan familiares son funciones de dos o más variables independientes. Por ejemplo, el trabajo w realizado por una fuerza w = f · d , el volumen Vde un cilindro circular recto V = V (r, h) = π · r2 · h , el área de un triángulo A = b · h , son todas funciones de dos variables. También tenemos funciones de tres variables, como el volumen de una caja rectangular V = V (l, a, h) = l · a · h es una función de tres variables. Denotaremos una función de dos o más variables de la forma usual
z w = = f (x, y) f (x, y, z) = = x 2 + y2 + 1 xyzDefinición 2.1 (Funciones de dos variables) Sea D ⊆ R2 , si a cada par ordenado (x, y) ∈ D hacemos corresponder un número real z = f (x, y) , entonces decimos que f es una función de x e y , y escribimos f : D ⊆ R2 → R . Al conjunto D lo llamaremos dominio de f y al correspondiente conjunto de valores z = f (x, y) lo llamaremos recorrido de f . Llamaremos a las variables x e y variables independientesy a la variable z variable dependiente. Observación : De manera análoga podemos definir funciones de tres o más variables, f : D ⊆ Rn → R . En todo caso el dominio será un subconjunto de Rn y el recorrido un subconjunto de R . En nuestro curso nos limitaremos ha estudiar los casos n = 2, 3 .

EJEMPLO 2.1

Hallar y dibujar el dominio de las siguientes funciones 1. f (x, y) = 2. g(x, y) =...