calculo iii


Universidad de Huánuco












E.A.P. Ingeniería Civil



Alumno:
Nieto Dueñas Christian JericCurso:
Calculo III


Tema:
Curvatura y Torsión




Geometría diferencial de curvas

En matemáticas, la geometría diferencial de curvas proponedefiniciones y métodos para analizar curvas simples en Variedades de Riemann, y en particular, en el Espacio Euclídeo.

Longitud de arco
Artículo principal: Longitud de arco
Dada una curvasuficientemente suave (diferenciable y de clase ), en  y dado su vector de posición  expresado mediante el parámetro t;



Se define el llamado parámetro de arco s como:



La cual se puede expresartambién de la siguiente forma en la cual resulta más fácil de recordar



Lo cual permite reparametrizar la curva de la siguiente manera:



Donde



Son las relaciones entre las dosparametrizaciones.
Vectores tangente, normal y binormal: Triedro de Frênet-Serret


Vista esquemática del vector tangente, vector normal yvector binormal de una curva hélice.
Dada una curvaparametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, normal y binormal como:

 o bien 
 o bien 
 o bien 
Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntosconfiguran un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frênet-Serret a raíz del estudio de Jean Frenet y Joseph Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en elespacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.
Si la curva está parametrizadasegún la longitud de arco, como se explicó en la sección anterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:



Donde los parámetros χ y τ anteriores designan respectivamente a la...