Calculo Inegral

[pic]
[pic]


Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo
[pic], en donde [pic]
Es decir
[pic]
Por ejemplo
[pic]
en dondetodos los [pic] valen 1, o
[pic]
y todos sus [pic].
Es interesante saber cuáles son los valores de x ( R para los que las respectivas series funcionales se convierten en seriesnuméricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores hacemos x=0, [pic] es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se convierte en 1+ 1 +... +... que es divergente.

Pero para x = 1/2 es

[pic]

que es una serie geométrica de razón [pic] y su suma [pic] con lo que la serie es convergente.Más aún, [pic] es una serie geometrica de razón x y será convergente si [pic], es decir si [pic],
siendo [pic].

Si se cumple esta condición:
[pic]
Entonces bajo ciertascondiciones, una serie de potencias describe exactamentea a una función. En este caso a [pic], pero sólo en el intervalo (-1;1).

Gráficamente

[pic]
1




[pic] sólo definida en la partemarcada gruesa por la serie






Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en
[pic]
Intervalo de convergencia: Se llama intervalo de convergencia I alconjunto de valores reales de x que convierte a la serie de potencias en una serie numérica convergente.
Radio de convergencia: Lamamos así a la menor de las cotas superiores del conjunto I.
En el caso de[pic] se observa que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es R = 1.
Se observa que el intervalo I está centrado en el origen. Siempre es asi para el I de [pic].Cálculo del radio e intervalo de convergiencia:
Sea la serie de potencias [pic]. Formemos la serie de valores absolutos, es decir
[pic]
[pic] que es una serie de...