Calculo ingeniero industrial

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES APUNTES DE CALCULO II PARA PRIMER CURSO DE LOS GRADOS DE INGENIER´ INDUSTRIAL Y DE TELECOMUNICACION IA Elaborados por Domingo Pestana y Jos´ Manuel Rodr´ e ıguez 1. CONCEPTOS BASICOS Definici´n. La norma de un vector x = (x1 , x2 , . . . , xn ) de Rn es x = o x2 + x2 + · · · + x2 . La n 1 2 n distancia entre dos puntos x, y de R es la norma de su diferencia, es decir,dist (x, y) = x − y . La norma en Rn verifica propiedades similares al valor absoluto en R, ya que, de hecho, la norma es igual al valor absoluto si n = 1: x+y ≤ x + y , x − y ≤ x−y .

Definici´n. La bola abierta B(x0 , r) de centro x0 ∈ Rn y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se o encuentran a distancia menor que r del punto x0 , es decir, B(x0 , r) = x ∈ Rn : x − x0 < r .

La bolacerrada B(x0 , r) de centro x0 ∈ Rn y radio r > 0 es el conjunto de puntos que se encuentran a distancia menor o igual que r del punto x0 , es decir, B(x0 , r) = x ∈ Rn : x − x0 ≤ r . Definici´n. Un conjunto U ⊆ Rn es abierto si para todo x ∈ U existe un r > 0 (que puede depender de o x) tal que B(x, r) ⊆ U . Un entorno de un punto x ∈ Rn es un conjunto abierto que contiene a x. Un conjunto F ⊆ Rn escerrado si su complemento F c = Rn \ F es abierto. La frontera ∂E de un conjunto E ⊆ Rn es el conjunto de puntos x de Rn (no tienen por qu´ estar en e E) tales que en todo entorno de x hay alg´n punto de E y alg´n punto de E c . u u Un conjunto E ⊆ Rn es cerrado si y s´lo si ∂E ⊆ E. o El interior de un conjunto E ⊆ Rn es el subconjunto de puntos x de E para los que existe un r > 0 (que puededepender de x) tal que B(x, r) ⊆ E. De hecho, el interior de E es el mayor subconjunto abierto de E. La clausura E de un conjunto E ⊆ Rn es E = E ∪∂E. De hecho, la clausura de E es el menor conjunto cerrado que contiene a E. Un conjunto E ⊆ Rn es acotado si existe un r > 0 tal que E ⊆ B(0, r). Un conjunto E ⊆ Rn es compacto si es cerrado y acotado. Es f´cil ver que una bola abierta es un conjunto abiertoy que una bola cerrada es un conjunto compacto. a Tambi´n es f´cil ver que la uni´n e intersecci´n de un n´mero finito de conjuntos abiertos es abierto, y que e a o o u la uni´n e intersecci´n de un n´mero finito de conjuntos cerrados es cerrado. o o u Definici´n. Una funci´n es una regla cualquiera que hace corresponder un punto de Rm y s´lo uno a cada o o o punto de un cierto conjunto A ⊆ Rn . f(x) es el valor de la funci´n f en el punto x. El dominio de una o funci´n es el conjunto de puntos para los que est´ definida, A en este caso, y se denota por Dom (f ). Si no o a se especifica nada, se sobreentiende que el dominio de una funci´n est´ formado por todos los puntos para o a los cuales tiene sentido la definici´n. Habitualmente escribiremos o f : A −→ Rm para denotar que A es el conjuntoinicial o dominio y Rm el conjunto final, de tal manera que a cada punto de A la funci´n f le asocia un punto de Rm . o La imagen de una funci´n es el conjunto de los puntos y tales que existe un punto x con f (x) = y, y o se denota por Img (f ). La gr´fica de una funci´n es el conjunto de puntos: {(x, f (x)) : x ∈ Dom (f )}. a o Sean A ⊆ Rn y f : A −→ R. El conjunto de nivel de valor c es elconjunto de puntos x ∈ A para los cuales f (x) = c, es decir, el conjunto {x ∈ A : f (x) = c} ⊆ A ⊆ Rn . Si n = 2, hablamos de curva de nivel de valor c, y si n = 3, hablamos de superficie de nivel de valor c. 1

2. LIMITES Y CONTINUIDAD Definici´n. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 ∈ A y f : A −→ Rm . Se dice que l ∈ Rm es el o l´ ımite de f (x) cuando x tiende a x0 , y lo escribimos limx→x0 f(x) = l, si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que f (x) − l < ε si 0 < x − x0 < δ. Teorema 1. Sean A un subconjunto abierto de Rn , x0 ∈ A y f : A −→ Rm . Si existe el l´ ımite cuando x tiende a x0 de f (x), entonces es unico. Es decir, si limx→x0 f (x) = l1 y limx→x0 f (x) = l2 , entonces l1 = l2 . ´ Corolario 1. Sean A un subconjunto abierto de R2 que contiene a (0, 0) y f : A −→ R. Si los...